※ 引述《rfvbgtsport (uygh)》之铭言： : https://i.imgur.com/NisTHiF.jpg : 第一选项除外，其他选项，可否请大大们指点一下，谢谢 这个题目的叙述让人很困扰 f(x^2)=0有二个绝对值小於1的有理根， 是指f(x^2)=0的根中，属於有理根且绝对值小於1的根， 「就只有」2个而已，还是至少有2个？ 不管最後证明两种叙述可以导出相同结果， ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 都不应该作为没把题目出得清清楚楚的藉口。 若x是f(x) = 0的根，则+-√x也会是f(x^2)=0的根 (i) 如果题目是f(x^2)=0「就只有」2个 绝对值小於1并且是有理数 的根 可知这两个根必为相反数且均为有理根 => 存在一个满足f(x)=0且小於1的正根 这时一般人会写f(x)=0有一个小於1的正有理根 (可是这时就没人会理解上句为f(x)就只有一个小於1的正有理根) (ii) 如果题目是f(x^2)=0有(至少、存在)2个 绝对值小於1并且是有理数 的根 则可能有这两根绝对值不同的状况， 这种状况保证至少有4个绝对值小於1且都为有理数的根 但是这样会导致存在二个满足f(x)=0且小於1的正根，并且另有一实数根 从题目的叙述知道(i)(ii)都保证f(x)至少有1个小於1的正根r，且是某有理根的平方 设f(x)有三根r, b, c，-rbc = 1/2 如果f(x)=0有一实二虚根，-r|b|^2 = 1/2 => r < 0矛盾 所以f(x)=0必有三实根 => bc < 0 => f(x)=0有二正根一负根 => f(x^2)=0有二正二负二虚根 => (2)正确 (3)错误，必须(p,q) = 1，否则随意扩分，p很容易不整除12... (4)因为r是某绝对值小於1的有理数的平方，从f(x)可能的一次因式找起 r就只有1/4的可能 => f(1/4) = 0 => a = 4, -11/2 但a = -11/2代入a^2 + a + 3非整数，不合 => a = 4 => (4)对 => f(x) = 12x^3 + 25x^2 - 31x + 6 = (4x - 1)(3x - 2)(x + 3) => (5)错 --

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