作者NuCat (骑山猪撞教官)
看板Math
标题[其他] 无限循环小数及无理数 换了进位制会不同?
时间Tue Mar 7 18:13:04 2023
如题 诚心求教
一些除不尽的无限小数 以及无限循环小数 以及无理数等等
换一个进位制 结果会不同吗？
小妹弟我一直以来 以为自己数学是不错的
因为从小被送去补习班学公文数学 大量的演算、算数解题
机械式的打下了一定基础 和一点点自以为的数感
加减乘除四则运算、小数、分数、代数、....
因此从小考试会比同龄人强一些
从小学、国中、到高中.... 一直是如此
直到上大学 学了统计学 (没错 偶文组)
因为数统、回归分析、和一些偏证明的机率论、 什麽超几何统计分配、卡方分配
搞得我一个头两个大 从此再也不敢以为自己懂数学或自称数学很强
原来以前 ....你说那叫数学？ 我看更像普通算数
社会组的统计学尚且如此了更别说自然组学的数学 那一定更难更枯燥
好了 回正题
我只想请教一个简单的问题
例如 7 除以 3 大家都知道会除不尽的
会变成无限小数 2.3333333333.......................
但是因为我们从小学的是10进位制 习惯以10进位思考
假设今天换成是7进位 或者3进位 结果会不同、变得可以除尽吗？
同理 圆周率π
大家也都知道他是一个无理数 连换成分数都无法
假设换了一个进位制 结果会不同吗？
真心寻求解答
鞭小力点 谢谢各位先进大贤
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 39.9.199.64 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1678183987.A.546.html
※ 编辑: NuCat (39.9.199.64 台湾), 03/07/2023 18:22:26
1F：推 Vulpix : 10进位的0.5 = 2进位的0.1 03/07 18:49
2F：→ Vulpix : 10进位的0.3 = 2进位的0.0100110011001... 03/07 18:52
3F：→ Vulpix : 10进位的0.444... = 3进位的0.11 03/07 18:53
4F：→ Vulpix : 有限小数跟循环小数是同类，换进位制就网内互转。 03/07 18:54
5F：→ Vulpix : 无理数换进位制也还是不循环无限小数。 03/07 18:55
6F：→ LPH66 : 回想一下你做长除法的过程, 再思考如果用其他进位 03/07 18:56
7F：→ LPH66 : 下去做的话会不会有一样的现象 03/07 18:56
8F：→ LPH66 : 特别注意当商数出现循环时还有什麽也出现循环 03/07 18:57
余数？
谢谢楼上两位耐心的解答 感谢 所以结果是不会改变 只是呈现方式变了
※ 编辑: NuCat (39.9.199.64 台湾), 03/07/2023 19:36:09
9F：→ yueayase : 如果你高中数学不错的话，我觉得学工数问题不大 03/08 01:39
10F：→ yueayase : 而数统我觉得在微积分不差的情况下，只要你懂他那 03/08 01:40
11F：→ yueayase : 那些工具在解决什麽问题，其实也是在照表操课 03/08 01:41
12F：→ yueayase : 除非你说的是converge in probability/distribution 03/08 01:41
13F：→ yueayase : /almost everywhere 那这个需要点epsilon-delta 03/08 01:42
14F：→ yueayase : statement证明的理解，还有懂得random variable定义 03/08 01:42
15F：→ yueayase : 换成用Set的角度去看 almost everywhere应该需要 03/08 01:43
16F：→ yueayase : 实分析or机率论(不是机率导论)才懂他在讲什麽 03/08 01:43
我高中排列组合机率满强的 (自豪)
结果上了大学统计系二年级 修到机率论 念原文书 一整个吃屎
我真的觉得专门念数学系的人 智商应该都超高的
17F：推 LPH66 : 就是余数没错, 这种余数循环造成商数循环的现象 03/08 02:12
18F：→ LPH66 : 是不论进位为何都是一样的 (可以想想为什麽) 03/08 02:12
19F：→ LPH66 : 而整除在某个程度上也是「自此之後余数都是 0」而已 03/08 02:13
20F：→ LPH66 : 当然商数也就是一样, 某位之後都是 0 然後不写而已 03/08 02:14
21F：→ LPH66 : 因此有理的表现 (有限或无限循环) 在换进位後仍然会 03/08 02:15
22F：→ LPH66 : 是「有限或无限循环」的表现 03/08 02:15
23F：→ LPH66 : 至於何者有限何者无限, 可以考虑 10 进位的状况以及 03/08 02:15
24F：→ LPH66 : 下篇回文提到的无穷等比级数来思考 03/08 02:16
谢谢专业耐心的解答 解除了我的疑惑
※ 编辑: NuCat (39.9.199.64 台湾), 03/08/2023 12:29:46
25F：推 nutta : 换成7进位你可以先除除看啊 03/09 11:17
26F：→ nutta : 7除以3是2又3分之1，而以7分之1为首项、公比的无限 03/09 11:20
27F：→ nutta : 等比级数是6分之1，所以7除以3的7进位制结果是2.2 03/09 11:20
28F：→ nutta : 2222…这样就发现一个例子了！没有实际例子就直接 03/09 11:20
29F：→ nutta : 要证明感觉会比较困难 03/09 11:20
30F：推 nutta : 等比级数的思考是从十 03/09 11:26
31F：→ nutta : 进位制每个位数都差10 03/09 11:26
32F：→ nutta : 倍来的，所以7进位制小 03/09 11:26
33F：→ nutta : 数点後理应是1/7、1/4 03/09 11:26
34F：→ nutta : 9、1/343…，可以先数 03/09 11:26
35F：→ nutta : 数看几个1/7会超过1/3 03/09 11:26
36F：→ nutta : ，发现3/7>1/3>2/7，所 03/09 11:26
37F：→ nutta : 以1/7只能有2个，小数 03/09 11:26
38F：→ nutta : 点後1位是2，再去找1/ 03/09 11:26
39F：→ nutta : 21是几个1/49…这是最 03/09 11:26
40F：→ nutta : 土法炼钢的方法，但很 03/09 11:26
41F：→ nutta : 实际，国中甚至国小就 03/09 11:26
42F：→ nutta : 能一个一个除下去 03/09 11:26
44F：推 Vulpix : 最近的AI产品很有趣，但显然你没有告诉AI正确的问 03/10 12:38
45F：→ Vulpix : 题。 03/10 12:38
46F：推 Vulpix : 至於长除法，与其用补的，不如去考虑为什麽余数一 03/10 12:45
47F：→ Vulpix : 旦重复就开始循环吧。 03/10 12:45