※ 引述《saltlake (SaltLake)》之铭言： : 分氏相加的定义课本上写很清楚，但是实务上总是会遇到一些 : 青年男女在计算的时候「很直观地」把分子加分子且分母加分 : 母。具体例子如下: : 按定义: 1/2 + 2/3 = 3/6 + 4/6 = 7/6 : 一种直观错误计算法: 1/2 + 2/3 = ( 1+2 )/( 2+3 ) = 3/5 : 请问除了单纯说必须按照定义方式运算以外，有甚麽方法可以 : 解释上述直观分别加的方式的错误。 其实这个问题我觉得可能可以用代数学的角度去看 From John M. Howie Fields and Galois Theory p13~16: Let D be an integral domain. Let P = D x (D\{0}) = {(a,b)|a,b in D, b ≠0} Define a relation ≡ on the set P by (a,b)≡(a',b') iff ab'=a'b 而这个是个equivalence relation The quotient set P/≡ is denoted by Q(D). Its elements are equivalent classes [a.b] = {(x,y) in P | (x,y)≡(a,b)}. We denote the class by symbol a/b. Two classes are equal if their representatives are equal. (ie. a/b=c/d iff ad=bc) We define addition and multiplication in Q(D) by the rules a/b+c/d = (ad+bc)/db and (a/b)(c/d) = ac/bd Then Lemma 1.11: The addition and multiplication defined above are well-defined. The operations turn Q(D) into a coomutative ring with unity, the zero element is 0/1, the unity element is 1/1. and the negative of a/b is (-a)/b. Also, the ring Q(D) is a field since for all a/b with a≠0, we have (a/b)(b/a) = ab/ab = 1/1 而我觉得最重要的应该是这个: Lemma 1.12: The mapping φ:D->Q(D) given by φ(a) = a/1, a in D is a monomorphism. Then we can regard Q(D) as containing D as a subring. The field Q(D) is the "smallest" field containing D, in the following sense: Lemma 1.13: Let D be an integral domain, letφ be the monomorphism from D into Q(D) given by lemma 1.12 and let K be a field with the property that there is a monomorphism θ from D into K. Then there is a monomorphism ψ:Q(D)->K such that the diagran θ Q---->K | `/` | / \|/ / Q(D) commutes (Define ψ(a/b) = θ(a)/θ(b) Then it is a monomorphism and ψ(φ(a))=θ(a)) When D = Z, it is clear that Q(D) = Q. This is a classic example of the field of quotients, but is not the only one. 好了，名词很多看得很头痛，粗浅的说就是，如果你承认等值分数的概念成立， 那每一个等值分数就会形成一个互相都是"相同"的东西，每一个这种东西构成一个集合 ，而不同的属於不同的集合，不同的集合是互斥的。 而根据Lemma1.12，我们如果把在有理数内的a/1视为是正整数a的一个代表，那这种对应 会是和原来运算结构是一样的且每一个在有理数的a/1，映回去都会是唯一的那个正整数 a，不会是别人(也就是一对一) 那就表示我用小学分数算术这种定法，把整数拓展到有理数，运算的结果和性质和原先在 整数中是等价的 而向量版本的那种并不能满足这种性质，所以如果有理数做为整数的延伸，那种分子+分子 分母+分母这种向量式的运算不太符合我们的需要 这也就解释了为什麽分数加法和乘法要这样订 也就是a/1+b/1=(a+b)/2除了在生活中不合理以外，在代数结构上也不符我们的需要 这是我的理解，你可以参考看看~~ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 61.227.66.112 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1676827242.A.2E0.html 我个人是喜欢这个作者这样的方式构造有理数的，而且也可以看到其中一个原PO问题的 其中一点: 那整数你这样加合理吗? ※ 编辑: yueayase (61.227.66.112 台湾), 02/20/2023 02:10:45 ※ 编辑: yueayase (61.227.66.112 台湾), 02/20/2023 02:20:28 ※ 编辑: yueayase (61.227.66.112 台湾), 02/20/2023 02:22:16 其实我觉得他倒可以把a/1+b/1=(a+b)/2拿来反问学生，这样会不会不合理 然後说这以後可以用抽象的数学架构，论证分数那样运算是合理的 但老实说吧... 代数学基本上证明也都是从基本的逻辑、集合、证明法则去做的 这种东西老实说即使很多理工科的，也不一定有兴趣去学习... 但既然如此，何不转念去想... 反正很多理工科的也不一定会，在这能力的基础上 我并不会输他们太多，我也可能有机会学起来呢? 而不是整天觉得自己高中以前的数学不好，这个连理工科的都学不起来，我一定也不行... 说真的现在也不少读文组的可以转当程式设计师，演算法和资料结构努力学，也学得起来 而实际上有些数学也不像高中那种调调，整天代公式弄来弄去，何不脱离画地自限的思维 ，给自己一个机会，好好学逻辑+集合+证明，未来学看看像计算理论和图论之类的， 搞不好哪一天成为这些领域的大师也说不定啊... https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Gossiping/M.1676736977.A.36B.html 之前我有发表相同论点... 但讽刺的是，没什麽人认同QQ ※ 编辑: yueayase (114.47.64.252 台湾), 02/20/2023 17:05:40 ※ 编辑: yueayase (114.47.64.252 台湾), 02/20/2023 17:11:28 其实我也没兴趣读这些东西，而且我以前也认为国文的古文的词的解释都没有逻辑、根本 自己讲自己的，有人之前反驳说其实这些东西是有脉络可循的，但当时我也不相信啊... 不过如果是考新体诗... 那个我就真的觉得没什麽逻辑，出题者或作者讲得算XD 然後老实说很多人觉得文组的东西没监别度，因为很多二、三类的人也念得起来... 也有人说其实是题目考得不够专业化，如果是考那种研究方法的思维之类的，可能就有 监别度了... 老实说我也认同，但这个我觉得跟当代对於学问的看法和风气有关... ※ 编辑: yueayase (114.47.64.252 台湾), 02/20/2023 17:53:44 我觉得人性使然，人们要对自己没有一点天分和没有实用价值的东西，花很多力气下去 学习，但我觉得很有趣的是，其实很多高中以前学生有问题的东西，不是老师花一两句 带过就能解决那麽简单，所以原PO问这个问题，我一开始也愣住，因为确实 向量加法那样加，确实是一个abelian group，这种特性其实很多情况下，确实已经足够 想要这样定，但问题就是... 它好像跟我们做分数运算处理问题不太一样... 所以我才想说代数学能不能解答这个问题... 结果是可以的 这很让人开心 而其实我觉得学逻辑的时候: p->q这个叙述，p为F且q为T，为什麽会是对的? 我高中老师以前唬烂我:若前提是错的，但结论是对的，不就更开心吗? 这种回答显然... 不太有道理XD 然後教授logic的章节，也对这个没有太多着墨... 直到有哲学系的推荐读 An Introduction to Formal Logic, Peter Smith (Author) 我没很仔细看，但看到一个关键就是: 如果你希望p->q为true，但q->p不一定是true的推理系统 那如果你把结果填F，真值表就会和q->p一样了 这个我就觉得说服力比较强，但一般数学课程不会提到 当然那位哲学系的也有提到counter factual conditional这个概念 这我比较不清楚 ※ 编辑: yueayase (114.47.64.252 台湾), 02/20/2023 18:51:52