※ 引述《FayeFaye1 (说不出的想念)》之铭言： : 玩10局游戏，胜率50%，遇到三连败以上的机率有多大? : 三连败以上意思是不只算三连败，遇到四连败，五连败等也算在内 : 也可能遇到2次三连败，或遇到三连败又遇到四连败等等 : 反正只要遇到1次三连败以上都算 : 我用程式模拟一百万次统计机率是41.347% : 但是我用数学计算怎麽算都是49.22% : 快要疯了 定义 P[n] = Pr(玩 n 局游戏遇到过 3连败)，这问题的目标是想算出 P[10] 基本假设：各局游戏的胜败为独立事件且胜率都是 p (在这个案例里面 p = 0.5) 对於 n = 1,2,3: P[1] = 0 P[2] = 0 P[3] = (1-p)^3 这我想满直接的 对於 n >= 4 的情况呢 P[n] = Pr(玩 n 局游戏遇到过 3连败) = Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 且 前三局未出现首胜) + Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 且 前三局首胜出现於第1局) + Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 且 前三局首胜出现於第2局) + Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 且 前三局首胜出现於第3局) Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 且 前三局未出现首胜) = Pr(前三局未出现首胜) * Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 | 前三局未出现首胜) (前三局未出现首胜 = 前三局三连败) = Pr(前三局三连败) * Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 | 前三局三连败) = (1-p)^3 * 1 = (1-p)^3 接着考虑 Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 且 前三局首胜出现於第3局) 前三局首胜出现於第3局 = 前两场败、第三局胜，故 Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 且 前两局败、第三局胜) = Pr(前两局败、第三局胜)*Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 | 前两局败、第三局胜) = (1-p)^2*p * Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 | 前两局败、第三局胜) 关於这个 Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 | 前两局败、第三局胜) ， 因为假设各局游戏结果独立，所以 Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 | 前两局败、第三局胜) = Pr(玩 n-3 局游戏遇到过3连败) 所以最终可以得到 Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 且 前三局首胜出现於第3局) = (1-p)^2*p * Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 | 前两局败、第三局胜) = (1-p)^2*p * Pr(玩 n-3 局游戏遇到过3连败) = (1-p)^2*p * P[n-3] 同样地推论可以得到 Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 且 前三局首胜出现於第1局) = p*P[n-1] Pr(玩 n 局游戏遇到过3连败 且 前三局首胜出现於第2局) = p(1-p)*P[n-2] 总结上面所有推论，可以得到 For n >= 4, P[n] = (1-p)^3 + p(1-p)*P[n-2] + p*P[n-1] + (1-p)^2*p * P[n-3] 写个小程式可以得到 P[10] = 0.5078125 你喜欢 analytic form 的话，那 P[10] 可以写成 P[10] = -6*p^8 + 32*p^7 - 66*p^6 + 60*p^5 - 17*p^4 - 4*p^3 + 1 -- --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 98.45.195.96 (美国) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1676769847.A.C34.html 你说得没错 已更正 ※ 编辑: arrenwu (98.45.195.96 美国), 02/20/2023 05:44:52