※ 引述《buffalobill (水牛比尔)》之铭言： : A,B,C三人要秘密地选择1,2,3其中一个数字 : 然後同时公开，将被选中的数字去重复形成集合 : 比如A选2, B选1, C选1, 那麽集合就是{1,2} : 比如A选2, B选2, C选2, 那麽集合就是{2} : 对A,B而言，集合越大越好 : 对C而言，集合越小越好 : 问 : 1)若三人皆随机选择，则集合大小的期望值为？ : 2)若A可以跟B讨论策略，但是C能听到A跟B的讨论 : 则有什麽策略可以最大化集合大小的期望值？ 1) 19/9 三个人选三个数字，总可能性27种组合 集合大小为3的有6种 集合大小为1的有3种 剩下的都是集合大小为2的，有27-6-3=18种 期望值为 (6*3 + 18*2 + 1*3)/27 = 57/27 = 19/9 2) 试列举几种策略 策略 甲 A跟B说，我选1你选2，这样我们一定不会重复 但C听到一定不会选3，集合大小固定为2 还不如随机... 策略 乙 A跟B说，我选1，你随机选2跟3，这样我们一定不会重复 但C听到一定也选1，期望值跟甲策相同为2 策略 丙 A跟B说，我随机选1或2，你随机选1或3，这样我们重复率下降 C听到分析了一下，3/4会出现1 1/2会出现2 1/2会出现3，於是C选1 C选1的话 有1/4集合大小为1 2/4集合大小为2 1/4集合大小为3 1/4+2*2/4+3*1/4 = 2，期望值与甲乙两策相同 策略 丁 看到甲乙丙策期望值都不如随机 A不屈不饶又想了一下，跟B说 我1/3机率选择1，2/3机率选择2 你1/3机率选择1，2/3机率选择3 C听到分析了一下，出现1的机率是5/9 出现2的机率是6/9 出现3的机率也是6/9＊於是不失一般性C选了2 期望值为 2*1/9 + 3*2/9 + 2*6/9 = 20/9！ 终於出现了期望值高於随机的策略了！ 策略的尽头 最後A想通了 关键就是 A以 1/X 机率选择1，(X-1)/X 机率选择2 B以 1/X 机率选择1，(X-1)/X 机率选择3 适当调整X的值，使得两人的选择中出现1的机率，等於出现2也等於出现3的机率 此时不论C如何选，集合大小的期望值为最大 出现1的机率为：AB都选1的机率+A没选1而B选1的机率+B没选1而A选1的机率 (1/X^2) + (X-1)/X^2 + (X-1)/X^2 =(1+X-1+X-1)/X^2 =(2X-1)/X^2 出现2的机率：(X-1)/X 出现1机率与出现2机率相等： (2X-1)/X^2 = (X-1)/X 解得 X = ( 3±Sqrt(5) )/2 因X-1为机率要大於零，故取 X = ( 3+Sqrt(5) )/2 约 2.618 最佳策略： A以 1/2.618 的机率选择1，1.618/2.618 机率选择2 B以 1/2.618 的机率选择1，1.618/2.618 机率选择3 看到1.618大家应该就知道这是黄金分割 φ 了 X = φ+1 假设C选1，计算期望值： 集合大小为1的机率为 1/X^2 集合大小为2的机率为 2 * 1/X * (X-1)/X = (2X-2)/X^2 集合大小为3的机率为 (X-1)^2 / X^2 = (X^2-2X+1)/X^2 1/X^2 + 2*(2X-2)/X^2 + 3(X^2-2X+1)/X^2 =(1+4X-4+3X^2-6X+3)/X^2 =(3X^2 -2X)/X^2 =3-(2/X) =3-(2/2.618) 约 2.236 比20/9还大一些些 以上 --

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