作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[线代] 离散摺积算子的值域直和
时间Sun Dec 11 01:22:07 2022
请教一个离散摺积算子的问题, 定义与叙述如下:
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令 Z是整数集合
F=R or C, R是实数集合, C是复数集合
W:={x_n:Z→F│x_n has compact support}
δ_n是delta数列, 只在n=0为1, 其他为0
a€W, T:W→W defined by T(x):=a＊x, ＊是摺积
则 (1) T is onto <=> a_n = c*δ_(n-d) for some c!=0 and d€Z, for all n€Z
(2) If T isn't onto
Find
explicit subpsace S s.t. W = T(W)⊕S
P.S. (1)自己已证
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用语言描述一下这个问题:
(a) W是收集所有只有有限项有值的数列
(b) 任给a€W, 都可以定义摺积算子T(x):=a＊x, 而且值都在W内, 因此T:W→W良好定义
而已经证出
T打满整个W的话 等价於
a只能在某一点有非零值, 即a_n=c*δ_(n-d), c!=0
因此, 我想问的是当不能打满时, 能不能把W写成值域T(W)与
某个显式S的直和
原本朝着想要找出T(W)的显式後, 能给我一些S的灵感, 但是写不出
目前我只证出如果
T不是onto, 则T一定打不到delta函数
即 If T isn't onto
Then c*δ_(n-d) not in T(W) for all c!=0 and d€Z
再请板友帮忙, 谢谢！
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1F：推 alan23273850: 好奇写出这个要干嘛。而且我想知道给定母空间 V 和 12/17 11:11
2F：→ alan23273850: 子空间 W，一定存在子空间 W' 使得 V = W 直和 W' 12/17 11:11
3F：→ alan23273850: 吗？ 12/17 11:11
嗨a大, 第二个问题是肯定的, 见
#1ZEM9Ut1, 只是这个空间是选择公设下的存在解
而我会想要具体的形式是因为我在推导某个问题时, 已经得到了:(简化如下)
V是向量空间, W是其无穷维子空间
f: W→f(W), 线性可逆, f(W)包含但不等於W (如果W是有限维的话不可能发生这情形)
因此f的反函数g如果限制在W的话, 会有
W包含但不等於g(W)
也就是说, g限制在W上打不满W, 我想要知道是那哪些让g打不到
从另外一个角度来看这问题的话, 就是
f感觉扩大了W, 也可以从f扩大了哪些向量做切入
而因为可逆的关系, 如果我写出W=g(W)⊕S的话,自然就能得到f(W)扩大的部分了
因此我的发文才使用W=g(W)⊕S这个形式来询问
※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 12/18/2022 00:12:01