作者deathcustom (Full House)
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标题Re: [中学] 一题不等式
时间Fri Nov 18 15:32:34 2022
※ 引述《SC333 (SC)》之铭言：
: 对所有实数 a
: x^3 + 2kx^2 + 3x + (5 － a) = 0
: 皆恰有一实根
: 求 k 的范围
: PS 直接微分可以求 但用高一不等式的方法 如何下手呢?
所求等价於
f(x) = x^3 + 2kx^2 + 3x为递增函数
从微积分的角度也就是
f'(x) = 3x^2 + 4kx + 3无负实数解
(4k)^2 - 4*3*3 <=0
4k^2 <=9
-3/2 <= k <= 3/2
这部分已经如先前有人回文
从一元三次方程式系数本身来看
把方程式化成一个递增的三次函数+一次函数(严格递增、水平或严格递减)
f(x) = x^3 + 3*(2k/3)*x^2 + 3*(2k/3)^2x +3x - 4k^2x/3 + (2k/3)^3 - (2k/3)^3
= (x+2k/3)^3 +(3-4k^2/3)x -(2k/3)^3
因此，只要保证 3-4k^2/3 >=0就可以保证f(x)为递增函数
我们可以得到
9 >= 4k^2, -3/2 <= k <= 3/2 #
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