各位好, 之前在 #1XF2064M 有询问过"为何讯号处理要用随机过程"相关问题 当时讨论方向倾向於"工程Paper写的不严谨"的相关讨论 而最近我又再碰一些讯号处理的paper又遇到一堆随机过程 因此想要用实际简单的例子来询问为什麽要用随机过程/随机变数对讯号建模 P.S. 文末有提如果内容众多或是在意知识产权, 乐意付费求解 【问题】 (1) 为什麽要用随机过程建模? 我有听到一个说法是"因为你永远不知道下一个/串讯号x_n是什麽", 但对於这个说法 把他当作需要的理由我觉得很怪, 我直接像分析学假设讯号x_n符合某个条件不就好了? 比如x_n€l^p, p=1 or 2..., 也就是说, 目前有两个approach: (a) 统计方向: 假设x_n是符合某些条件的随机过程X_n(w)的取样 (某些条件如stationary, ergodic, 满足某个机率分布...) (b) 分析方向: 假设x_n是符合某些条件的实数列 (某些条件如l^p) 会发现(a),(b)这两种假设方式也都是"不知道下一串讯号x_n是什麽而做的假设" 所以我才觉得这句话并不足以说服我为何要用随机过程建模 况且电脑就是根据确定的input去产生output 今天我的算法的accuracy是某个资料库的N笔资料的正确率的话 这N笔资料就是确定的固定值, 我就是要这N笔的正确率越高越好 因此何来不知道下一串x_n是什麽的疑虑 而且随机过程建模的话很容易让论文的符号有一堆模棱两可跟猜测的空间, 举例来说, 一个实数列x_n迄今我就看到有三种版本诠释他: (A) x_n = X_n(w) for some w€Ω, 其中Ω是样本空间, X_n(w)是随机过程 (B) x_n = X(w_n) for a sequence w_n€Ω, 其中Ω是样本空间, X是随机变数 (C) x_n = X(n) for n€Z, 其中整数Z是样本空间, X(n)是随机过程 而不管猜测/选择哪个版本, 只要条件加的够多, 好像三个就能得到一样的结果 然後再套入一些说法如"样本空间不重要, 重要的是pdf", 变成说具体是(A),(B),(C) 哪一个也不重要了, 反正不说死x_n是什麽, 理论推导时写E[x_n], 这个E是期望值 还是ensemble average也不重要, 反正条件够好值都一样 如果真是如此的话, 那我直接用(b)假设x_n是符合某个条件的实数列就好了啊 看起来(a)并没有带给我任何好处反而还有一堆模棱两可的地方 甚至我把所有有E[x_n]的推导过程的E[x_n]都定义为ensemble average 等式几乎都可以过去, 况且电脑实作上对於E[x_n]也都是用moving average做 因此我才觉得假设符合条件的实数列x_n并且考虑 E[x_n]:=lim_{n→∞}( (1/n) *Σ_{k=-n~n} x_k) (E[x_n]只是举例, 像是特殊型MMSE是考虑E[|e_n|^2], e_n是error sequence) 最後一提的是, 用随机过程建模的话, 某个x_n出来的结果是错误的话 你并不能去说他公式推导或是假设错误, 因为照理论来说这个x_n只是抽样 抽样的结果不对不代表什麽, 因为都有机率性的 有监於此, 让我疑惑的三点就在於: ‧不管采取统计方向跟分析方向的假设, 电脑实作都是同一套 那采取哪种假设根本没差 ‧采用统计假设就有一个好处：理论推导错误也没差 即便任意有限N笔资料错, 也都不能去说作者推导有错 因为有限抽样的结果不能否定掉机率分布, 顶多只能说倒楣一直抽到不好的data ‧不能检验的理论(统计假设)为何重要? 因为在统计的假设下, 任何输入x_n只是抽样 他结果对与错并不能撼动假设, 不像反证法可以由结果错可以说假设错 (2) 如果只是对x_n做实数列假设会怎样吗? 这部分跟(1)就有很多重复的地方不赘述, 特别想问的是几乎所有机器学习, 深度学习 讯号处理的参考资料跟论文都会引入期望值, 然後不说死E[x_n]的x_n是什麽 如果我写论文不采用随机过程建模, 直接用分析学的方式去假设讯号x_n符合某些条件 会直接被打枪吗? 如果会的话, 那就回到(1)了, 我想知道到底是有什麽理由跟好处... 抑或是从今以後我阅读任何有E[]的论文时, 都把他当成数列的ensemble average一切就 天下太平? 不用管什麽统计假设了, 反正电脑实作时不论x_n是不是满足什麽统计假设也 是算一样的东西... 【举例】 我想以Wiener filter去比较使用分析假设与统计假设的差别 (严格来说统计的理论是实变, 实变是分析学, 因此我此处的分析学是指 没用到样本空间/随机过程那些的分析学) 参考 https://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_filter 的 "Finite impulse response Wiener filter for discrete series"段落 大体说来(符号跟wiki一致), w_n跟s_n是两串已知数列, {a_i│i=0~N}是N+1个待定系数 令a := (a_0,...,a_N)€R^(N+1) x_n := Σ_{i=0~N} a_i*w_(n-i) e_n := x_n - s_n 求最小误差问题 min E[|e_n|^2] a€R^(N+1) 接着就可以考虑几种case: (一) 采用统计假设, 并不说死E[]中摆的数列是怎麽来的(X_n(w)/X(w_n)/X(n)) 则就像wiki那样一路推下去, 也得出结果 我想问的是严格来说wiki里面的E[]到底是什麽? X_n(w)/X(w_n)/X(n)随便都可以吗? 如果是的话, 是依据哪个定理所以随便都可以? 如果真的随便都可以, 那就照(二)当成数列的ensemble average就好啦? (二) 采用分析学假设, 这些数列单纯是数列而已 定义E[|e_n|^2] := lim_{n→∞}( (1/n) * Σ_{k=-n~n} |e_k|^2) 会发现wiki所有的推导都过的去, 只要假设极限表现良好 也就是说, 所有的推导都只是实数列的推导, 无关任何统计假设 这样不能吗? 有何缺点? (三) 采用分析学假设, 去严格化(二) 观察(二)会发现不一定有解a使得cost function达到minimum, 甚至下面这个空间S 根本不一定是向量空间 S:={x_n:Z→R│E[|x_n|^2] exists} 会用特别指出他不是向量空间是为了跟下面这个确定的结果做对比 (即是我在 #1ZPWF7qZ 的问题-(4)的结论) 令l^2:={x_n:Z→R│Σ_{k=-∞~∞} |x_k|^2 < ∞} 则l^2不仅是向量空间更是Hilbert space, <x,y> := Σ_{k=-∞~∞} x_k*y_k 这里会发现S跟l^2的差别就只是有没有除以n, 正是这个除以n破坏了向量空间 在l^2中, 正项级数随着加的项数越多值递增, 因此递增有上界就能收敛 但是S中多了除以n, 导致分子加的项数越多值递增但是分母也在递增, 无法确定收敛性 因此我接下来的推导只会在l^2(在S目前我觉得不会有好结果) 额外一提, 如果单纯考虑有限维空间的最佳近似解问题(符号混用, 过了这段就无视) min |Ax-b|^2 x€R^n 其中A=(a_i_j)€M_mxn(R), b€R^m 则定义 e_n:= (Σ_{k=1~n} a_n_k * x_k) - b_n 的话 原问题就可以写成 min (Σ_{k=1~m}|e_k|^2) x€R^n 此时会发现不管有没有除以m, 解得的x都会是一样的 这例子带给人一种l^2跟S会有差别是因为无限维的问题, 若有限维就一样了 接着回到l^2, 把Wiener filter的最佳化问题与条件假设罗列如下: 令w_n€l^1, s_n€l^2为两数列 a := (a_0,...,a_N)€R^(N+1) to be determined x_n := Σ_{i=0~N} a_i*w_(n-i) e_n := x_n - s_n ║v║:= (<v,v>)^0.5 , for v€l^2, 即l^2的norm 求最小误差问题 min Σ_{k=-∞~∞} |e_k|^2 a€R^(N+1) 可以发现这个最佳化问题等价於 min║w＊A-s║ ---(●) A€C 其中C:={A_n:Z→R│A_n = 0 for n not in {0,...,N}}为l^2中的(N+1)维子空间 (也就是说, 数列A_n只是把a_n左右无限补0而已) 会发现先前l^1, l^2的设定只是为了让(●)well-defined(l^1＊C会属於l^2) 而藉由Hilbert space的投影定理(因为A处於有限维空间C, 所以摺积算子的值域R_w (R_w:={w＊A│A€C}) 也会是有限维, 因此closed), 会存在唯一的垂足p€R_w 使得 s-p€R_w^⊥, 接着只要任何满足 w＊A = p的A都是最佳化问题的解A 顺带一提, 如果在l^2空间考虑最佳化问题 min E[|e_k|^2] a€R^(N+1) 结果会很惨, 因为l^2的级数和是有限的, 会让无穷大的分母使得整体收敛到0 因此会变成所有的a€R^(N+1)都是解, 毫无意义 以上就是我用分析学假设去严格化(二)的陈述 为什麽历史演进下来的Wiener filter不是这样的假设与推导? 我是在猜测一些可能性: ‧l^1, l^2这些假设太严格了, 不除以项数的话很容易发散, 非常不实用 ‧l^2空间去除以项数会得到无意义结果 ‧考虑较宽广的集合S, S又没有办法严格化成向量空间/Hilbert space... 就是这些因素让应用数学家放弃用分析学方式建模 ----------------------------------------------------------- 以上就是我的问题跟猜测, 我尽量用线性脉络去陈述我遇到的问题 但是因为牵涉到"为什麽要这样令、有什麽好处、理论历史发展"之类的问题 问起来难免有点杂 不好意思 再请有涉猎的板友帮忙了, 谢谢! 另外如果有板友可以完全回答这些疑惑, 但是又觉得是自己整理的知识产权 非常乐意可以来信讨论付费讲解 我这几天边整理这些边逛tutor版、google家教(高等数学/统计/工作的数学)...等 都没有找到相关的资源...(有时候觉得是不是自己google能力很差...这些问题我网路 都找不到类似的人问, 当然就没有答案) 因为本身在业界了, 自己想这个的时间没有很多, 付费换得高效率得到答案的方式 对我来说是非常可行的 再次谢谢帮忙~ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.102.225.191 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1668107617.A.9B7.html 好~谢谢资讯, 只是我从好几年前到业界时, 就很难找到适合的人选问... 数学的同学或是教授偏理论, 我必须把工程上的问题翻译跟定义完才能跟他们讨论 问题就在於这些问题本身就是定义跟历史问题, 也可以说是我翻译完那就没问题了... 而问业界的同事, 他们不在意理论怎样, 反正电脑跑起来ok就ok 尤其深度学习很容易理论一套、实作一套 而又碍於理论是用统计做假设, 所以实作(抽样)不符合理论也没有矛盾 综合以上两点, 理论如果不重要又不能检验(只能某个信心水准), 那这个理论用处在? 我是不相信理论不重要啦, 只是目前没找到说法, 因此才来问 这个我理解, 所以就需要假设 问题在於我假设杂讯符合某个分布 vs 假设杂讯符合某个分析条件 我还是不清楚有何差别, 细节就是本文的那些思考方向(【问题】) 嗨r大, 谢谢reference 另外请问一下, 你说"当然可以", 那我下面这个疑惑对你而言是疑惑吗? 不管假设x_n是 (1)符合某个随机分布的抽样, X_n(w)/X(w_n)/X(n)哪一个随便 或 (2)符合某个分析学的数列假设 电脑实作E[x_n]时都是用moving average来宣称达到期望值E[] (其中E[]是expected value还是ensemble average根本不管, 实作都用moving average) 也就是说, 不管x_n是怎麽假设来的, 我的实作都是同一套程式码的话 那假设不就变得没有意义了? 这是我的疑惑 举一个我所谓有意义的假设, 拿Wiener filter的(三)分析当例子 只要条件满足罗列的所有假设, 结论一定会成立 反之如果结论不成立, 一定w不是l^1 或是 s不是l^2 或是blabla 也就是说, 分析学的假设只要你能满足条件, 结果一定成立 反之如果结果不成立, 假设一定有地方出错 但是统计学的假设下, 即便抽样的数列跑出来的结果不成立, 也不能否定掉统计假设 我觉得我就是这里不舒服跟觉得怪怪的 还是说要用统计学来建模的话, 就是要让自己接受这些观点? 而刚好历史上在讯号处理大家都用这一套来建模, 接受就好了 如果理由确实如此的话我是可以接受 ※ 编辑: znmkhxrw (114.25.106.213 台湾), 11/11/2022 15:37:51 意思是说在统计假设WSS与ergodic的情况下 并且假设所选用的moving average会等於time average 则所有抽样的x_n都会符合理论推导 换言之, 如果某个抽样x_n不符合理论推导结果, 就是下列至少存在一种情况发生: (1) 选用的moving average不够好 (2) 不是WSS (3) 不是ergodic r大是这个意思吗? 了解~谢谢r大回应 是, 这算是一个例子 以讯号来说, 比如某杂讯音档s_n是从N(0,1)的分布中的取样 但是你对s_n做mean跟variance很高机率不是0跟1 那假如(举例而已)原理论推导中得到最佳参数 p = (mean+1)/variance, mean跟var是母体, 因此对於N(0,1)的分布来说, 最佳参数就是 p = 1/1 = 1 但是实作上会发生两个情形: (1) 因为你假定s_n是N(0,1)的取样, 所以p还是设1/1 = 1 但有可能s_n是很差的取样, 所以p=1时会让模型的效果很差 (2) mean采用样本的mean, var采用样本的var 所以你等於用moving average的方式去跑样本s_n的mean跟var得到一直变动的p 如果p逼近1且模型表现好, 那一切大致符合 如果p逼近1但模型表现不好你也不能说矛盾, 因为s_n只是取样, 理论是对母体陈述 如果p远离1但模型表现好, 那只能说刚好而已 如果p远离1且模型表现不好你也不能说矛盾, 因为s_n只是取样, 理论是对母体陈述 总之就是理论是根据母体/分布做陈述, 但是实际上被计算的都是样本 那样本表现的不好能不能推翻理论, 就看你的一堆假设了, 比如WSS那些 表现不好就说他不是WSS之类的... 结果论只能说我比较喜欢分析学的假设方式 理解~这样听起来确实统计假设跟分析假设都是满足假设下去做推论 矛盾时就一定会否定掉某个假设 只是我说不上来一个具体的形容, 觉得分析假设比较明确 阿, 应该说: (1) 统计假设: 对X_n(w)做假设, 对x_n实作 (2) 分析假设: 对x_n做假设, 对同样的x_n实作 或许是因为这样我才觉得(2)比较明确... 嗨P大, 我先叙述我个人习惯再回应你的问号 不管是纯数的定理还是应用的理论建模, 我有两个approach: (一) 先假设最少的条件 发现推不下去後, 再去多加一些合理又感觉不太刻意的条件, 这些非常主观 举denoise来说, 因为电脑处理的资料确实就是一串数列, 所以输入跟输出都是实数列 因此输入条件先只有假设实数列对我来说就是最宽松的假设, 如果能得到好用的结论 当然是最好的, 不过通常越少的假设能得到的性质越少 因此只有实数列在分析上的结果非常少, 诸如: (1) 数列不一定收敛 (2) 向量空间不可赋距 (3) 向量空间不可赋予内积 ... 少了这些性质根本做不下去 因此我下一步就是增加条件, 而在增加的过程必须主观的相信这对实际应用没什麽影响 比如我增加的条件是恒号, 那我就觉得这个条件太刻意, 因为输入讯号很难保证会恒号 比如我增加的条件是l^2, 那我就觉得这个条件应该还好, 至少有限项的讯号都是l^p的 然後一路推理下去, 哪里卡住就再加条件, 或是事後去优化条件 (二) 先不论条件, 假设well-behaved everywhere 这个approach像是碰到极限交换, adjoint存在性, 投影定理...之类的 原本都需要符合某些严格条件, 但是就先当作成立, 一路推到主观觉得简洁又好的结果时 再去做实验说这个结果能不能用 这方向比较偏快跟实用性, 不过後续要严格化理论的话还是要回到(一)去一个一个筛选 条件, 找出最佳条件让所有等式严格成立 ------------------------------------------- 以上是我的习惯, 但是如同我之前在 #1YV0bcBv 询问有关阅读工程的论文时 常常他前面章节的理论推导跟後面的实作完全对不起来 要马是理论推导时省下一堆条件没说要读者自行猜测(甚至他就是当all well-behaved) 要马就我看不出来他的实作是在实作理论讲的那些东西 举个之前提过的实际例子来说, 深度学习模型GAN在问世时有篇2014年的论文 他理论推导时说期望值会是1/2, 结果不仅理论推导有个问题是他对不同维度的R^n空间 做双向可微的变数变换来导公式(不同维度不可能存在diffeomorphism), 实作上根本不会 有期望值1/2这个结果, 并且这个模型非常容易随着乱树种子影响, 接着长达好多年去 稳定这个模型 但是只要这个模型有好的几次, 就不太用去在乎他的理论导对还是导错 因为我在业界了所以我可以接受这个说法, 但是前提是不要让读者花时间猜跟验证 如果你先标明说这个程式码实作跟理论推导我还没证明是有关的, 我就可以不用浪费时间 去验证彼此的相关性 也就是说今天我照顺序阅读下来, 当作你的理论是对的, 然後跟着实作去做 如果我做出来的结果效果不好或是跟理论推导不一样, 我就能直接怀疑是我实作错误 但是如果理论都不一定对了甚至不知道实作到底有没有在实作理论 那我要猜的东西就一堆了...是这次倒楣取样不好? 还是我code写错? 还是他理论错? 还是他实作错? 最後说一下, 用实数列看待算是我在学界分析学的习惯, 所以在看讯号/AI方面的论文发现大部分用统计模型看待时, 我就很好奇用统计假设 到底有什麽好处? 因为用实数列看待我可以完美的检验定理以及实作的契合度 但是用统计模型看待的话, 在效果不好时, 只能说取样刚好不够好, 或是实际情况 不符合假设 当然一定有人习惯统计假设了, 反而用实数列假设会觉得怪或是不实用之类的 因此我才想知道说熟悉这两种假设的人, 他对於这两种假设方式有什麽经验可以分享 诸如我文中说的 (1) 如果不管采用什麽假设, 程式码都是同一套, 这样采取怎样的假设有区别的意义吗? (2) 哪种假设比较"好", 有关於好的标准吗? 主观/客观皆欢迎 (3) 我习惯的分析学的假设方式, 在讯号的建模上几乎看不到, 是因为? 如果其中一个原因是因为讯号的不稳定, 我也可以把我分析学的假设设的宽一点啊 只是可能就没有投影定理/Hilber space那些性质可以用 ------------------------------------------------------- 以上分享, 谢谢 嗨P大, 你这个例子正好可以讨论 首先我说的以实数列看待Wiener filter的话就是如文中所说, 复制如下灰色: -------------------------------------------------------------------- 令w_n€l^1, s_n€l^2为两数列 a := (a_0,...,a_N)€R^(N+1) to be determined x_n := Σ_{i=0~N} a_i*w_(n-i) e_n := x_n - s_n ║v║:= (<v,v>)^0.5 , for v€l^2, 即l^2的norm 求最小误差问题 min Σ_{k=-∞~∞} |e_k|^2 a€R^(N+1) 可以发现这个最佳化问题等价於 min║w＊A-s║ ---(●) A€C 其中C:={A_n:Z→R│A_n = 0 for n not in {0,...,N}}为l^2中的(N+1)维子空间 (也就是说, 数列A_n只是把a_n左右无限补0而已) -------------------------------------------------------------------- 也就是说, 对我而言w_n, s_n只是两串确定的实数列而已 而Wiener filter只是要找到A使得 w＊A 与 s 的2-norm最接近 以上是我所谓用实数列看待(即分析学很常用的假设, 如对函数/空间做限制) 接着你的例子应该是使用Wiener filter来denoise 所以以我的分析学假设的话, 即是把既有的假设更加入了: (1) w_n = s_n + N_n (我这里的N_n是你的n_k, N代表Noise) (2) N_n is independent of s_n (这里independnet的定义是 N_n€{s＊A│A€C}^⊥ 即噪音数列N_n落在子空间{s＊A│A€C}的垂直空间上) 然後分析学就做不下去了, 因为我查两个数列是独立的定义时, 都定义在随机变数/过程 当然我们也可以单纯定义independent为s跟N在l^2这个向量空间中线性独立 或是定义为s与N内积为0 或是blabla 只是目前我没查到关於分析学定义两数列独立的通用定义 而即便我采取随便一种定义, 会遇到很严重的实作问题是, 实务上只会拿到w, 拿不到s 而如果拿到s, 那也不用做denoise了... 再来看统计假设, 几乎就是你写的那样假设w = s + N, N符合某个pdf(此为Gauss) 每每我论文看到这种语言形容时, 我就在猜w,s,N到底是X_n(w)/X(w_n)/X(n)哪一种假设 然後先不管的话, 接着你推文所写的x_k = (1/4)*...这个我虽然没看过 但是应该跟 https://code-highlights.blogspot.com/2012/06/ 是类似的事情? 即是在随机变数的独立假设下, 推出transfer function(Wiener filter的频域转换) 是只跟SNR有关的函数 统计假设一样会遇到拿不到s的问题, 因此上面那个网址就说 what the fuck? Do I need to know clear signal to obtain clear signal? 这也是我几年前最初看Wiener时就有的疑惑 只是就如里面说的假设autocorrelation of s可以事先被其他没有noise的影像估计 总之, 分析学的假设固然有其难操作的地方, 我也不是不能接受统计假设 只是每每遇到使用统计假设的讯号处理资料时, 下面两件事情让我不舒服而已 (1) 要猜测里面写的x_n是属於X_n(w)/X(w_n)/X(n)哪一种 (2) 如果某个testing data/signal表现结果很糟, 只能说: (a) 取样倒楣 or(b) moving average选取不好 or(c) 不是WSS 这种感觉蛮主观的, 可能叙述的有点乱, 不好意思~ 嗨P大, 22:17已删 另外回覆您这段说的: (1) 我想说你符号用我的w,x才想说你是在讲同一件事情, 那我误会了 (2) 承(1), 单纯是x_k=1/4*[w_(k-1)+2*w_k+w_(k+1)]的话, 在我接触的讯号处理中 只是固定的FIR滤波器, 也就是说x = w＊h, 只是h不是causal也不是anti-causal (h_0 = 1/2, h_(-1) = 1/4, h_1 = 1/4, h_n = 0 else) 跟Wiener filter那种是"找到滤波器A去最小化cost function"是完全不同的情况 因此这种固定滤波器的case我完全不会用随机性去看他 单纯就只是一个固定的LTI系统, 输入w, 输出x而已 不过要说有关也可以啦...因为"滤波器A去最小化cost function"得到的A就是固定了 (不考虑real-time training, 就是pre-trained好的) 而这滤波器A长怎样跟统计假设推出来的公式以及training的data有关 因此也可以说这个滤波器A是参考了众多抽样的讯号後所得出来的平均值 而每个抽样输入w, 经过A输出x 嗨r大, 几年前第一次看到adaptive filter相关的名词时, 就知道有 Wiener, LMS系列(BLMS, RLS, APA, NLMS, MDF...)...这些使用统计假设的算法 对我而言: (1) Wiener <-> 线代最佳近似解closed form的解 min_{x€R^n} |Ax-b| (2) LMS <-> 使用梯度下降法去逼近 closed form的解 min_{x€R^n} |Ax-b| 而梯度下降法涉及学习率μ, 所以有各种假设跟衍伸算法去讨论μ的选取 对我来说, 在线代的角度, 有明确的结果: (a) 若矩阵A一对一 则解x唯一并且 x = (A^*A)^-1 A^* b (b) 若在任何一个初始值x_0 则存在r>0使得 |Ax-b| < |Ax_0-b|, where x = x_0 - μA^*(Ax_0 -b) for all 0<μ<=r (c) 若在任何一个初始值x_0 使得 |Ax-b| < |Ax_0-b|, where x = x_0 - μA^+(Ax_0 -b) for all 0<μ<=1 这些就是研究方阵A^*A的固有值以及A^+得到的结果而已 但是Wiener跟LMS所给出的结果很类似, 就是把以上(a)~(c)的结果加入了统计假设 我只能很主观的说出, 纯分析/线代假设下的结果我可以复证跟检验并且找实际例子说明 但是统计假设我不知怎麽的觉得无法检验, 只能被其语言上的描述带过去 嗨P大, 就我接触的经验, 滤波器是h, 被滤讯号是x, 滤出结果就是 y = h＊x 然後就会研究DTFT, Z-transform,...这些东西来寻找怎样的h才能得到想要的y 这个approach下都不会涉及随机过程建模, 讯号只是数列(离散)或是函数(连续) 的分析学假设而已 会有统计假设的层面大部分都是在需要训练滤波器系数的adaptive filter中才会引入 像是Wiener, LMS系列(NLMS, RLS, APA...)...需要pre/real-time trained或是统计假设 的关键字主题才会引入统计假设 因此我这篇才以Wiener来当明确的例子, 不用统计假设会怎样吗? 对实作有区别吗? 都可以阿, DTFT跟Z转换都能对数列x_n(分析学假设)与随机过成X_n(w)(统计学假设)做 反而是在adaptive filter(几乎都是统计假设)不太会去分析频率耶... ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 11/17/2022 12:51:07