※ 引述《arrenwu (不是绵芽的错)》之铭言： : ※ 引述《cornerstone (cornerstone)》之铭言： : : 在看机率中关於随机变数独立的部分看到： : : 若随机变数A和B独立，他们的平方也会相互独立 : : 我突然很好奇为什麽能直接这样说呢？ : 独立随机变数 : 独立变数 X,Y 对於任意两集合 A,B，都成立 : P( X in A Λ Y in B) = P( X in A ) P( Y in B) : 你的问题其实是在问，如果 X,Y 独立，我们要怎麽说明 : 对於任意两函数f,g和任意两事件 C,D 都会成立 : P( f(X) in C Λ g(Y) in D) = P( f(X) in C ) P( g(Y) in D )？ : [你的案例就是 f(x) = g(x) = x^2] : 绿色那行独立性质好懂、很直觉， : 黄色那行则看起来也非常直觉，但直接说是对的好像怪怪的(? 其实如果弄清楚随机变数及随机变数间相互独立的意思就不难懂了。 两事件独立很简单，定义就是交集的机率等於个别机率相乘： 　　　P(AB) = P(A)P(B) 两随机变数 X, Y 相互独立是说： 　　任意关於 X 的事件与任意关於 Y 的事件都相互夺立。 (实数值)随机变数定义上是一个函数，是从样本空间到实数线的一个函数， 用稍为严谨一点的讲法是可测函数， "可测" 只是为了数学上避免发生一些 困难所做的限制。 关於 X 的事件，就是 [X in C] 之类的事件，C 在这里也有可测的要求。 对一个机率空间 (S,Ｗ,P), 其中 S 是样本空间；Ｗ是所有事件的集合， 或说是可测集的集合；P 是机率函数，就是对Ｗ中每一个事件（Ｗ的元素, S 的子集）指定一个机率值并符合机率三公设的一个函数。随机变数把 S 的每个元素映射到数线上一点，也把Ｗ中每一事件映成数线上一个子集， 但我们不关心 {C; 存在 A in Ｗ, 使 X(A) = C}；而是先在实数线上定义 了什麽是实数线上的可测子集，我们关心的是 对任意实数线上的可测集 C, [X in C] = {s in S; X(s) in C} 必须在Ｗ中. 这就是前面说随机变数是可测函数的意义。 所以在机率空间 (S,Ｗ,P) 中，Ｗ含有此空间最多的事件，随机变数 X 定 义的事件族，也就是关於 X 的事件族只是Ｗ的一个子事件族。若 f 是实数 线到实数线的一个可测函数，Ｕ = f。X = f(X) 将是 S 到实数线的一个随 机变数，而关於 Ｕ 的事件也必是关於 X 的事件。 所以若 X, Y 是相互独立的随机变数，意指： 　　关於 X 的每一事件，分别与关於 Y 的每一事件是独立的。 那麽，U=f(X), V=g(Y) 这两个随机变数定义的事件，分别只是 X, Y 所定义 事件的一部分，当然是相互独立的。就比如说： 　　事件族 {A,B,C,D} 和事件族 {E,F,G} 分别各取一个都是相互独立； 那麽， 　　事件族 {A,C,D} 和事件族 {E,F} 分别各取一个也都是相互独立。 以上结果推及多组，多个随机变数之间的相互独立也是同样道理： 　　如果随机向量 X=(X1,...,Xm), Y=(Y1,...,Yn), Z=(Z1,...,Zp) 相互独立，新随机向量 U=f(X), V=g(Y), W=h(Z) 也会相互独立。 --

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