作者cornerstone (cornerstone)
看板Math
标题[机统] 高三下机统的问题
时间Thu Nov 3 12:41:21 2022
题目说：教练为了奖励球员，投进一球就给10元。
某个篮球员的投球的命中率是85％，他投了9球，
求他可以拿到多少钱的期望值和变异数？
我一开始的想法是用最基本的想法：期望值＝报酬＊机率
设随机变数X是进球的数量
所以列表从0球开始加到9球都进，大概是：
0球进时：0元* (0.85)
1球进时：10元*(0.85) = 8.5
2球进时：20元＊(0.85)^2= 14.45
3球进时：30元＊(0.85)^3=
4球进时：40元＊(0.85)^4=
...........
9球进时：90元＊(0.85)^9=
期望值就等於全部加起来，假设为E(X) = S.
变异数也是: 从Var(X) = 平方的期望值-期望值的平方
0球进时：0元* (0.85)
1球进时：(10)^2元*(0.85) = 8.5
2球进时：(20)^2元＊(0.85)^2= 14.45
3球进时：(30)^2元＊(0.85)^3=
4球进时：(40)^2元＊(0.85)^4=
...........
9球进时：(90)^2元＊(0.85)^9=
变异数就等於全部加起来再减掉S^2
但觉得这样的算法好像太土法炼钢，
应该有比较好的算法…
所以想到用二项式的公式，但又因为有给10元这部分，
我就不太知道我的想法是否正确？
E = np
V=np(1-p)
所以E = 9＊0.85＝7.65
这代表九球平均会进7.65球
如果每一球给10元，那就等於10*7.65＝76.5元
请问这样的想法是对的吗？
用二项式的公式时，是不是就没有随机变数了？
另外，套用变异数的公式是：
V=np(1-p)＝9*0.85*0.15＝9*0.85*0.15＝1.1475
这时变异数也可以直接乘以10吗等於11.475？
谢谢！
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 36.238.112.247 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1667450483.A.B03.html
1F：推 LPH66 : 你这里有两个稍微不太一样但相关的随机变数在 11/03 12:48
2F：→ LPH66 : 一个是进球数，另一个是钱数；由题设後者是前者10倍 11/03 12:49
3F：→ LPH66 : 而前者可以由你提的二项式公式求得 11/03 12:50
4F：→ LPH66 : 後者的所求就能由平均值和变异数的性质求得 11/03 12:50
5F：→ LPH66 : (变异数不是乘以10喔，去查变异数的性质) 11/03 12:51
6F：→ cornerstone : 谢谢您！用两个随机变数的概念很帮助我!E(Y)=E(10X) 11/03 13:42
7F：→ cornerstone : 可以直接变成10*np，但变异数提出来要变平方，所以 11/03 13:43
8F：→ cornerstone : 不是x10，而是x100，这样对吗？谢谢您！ 11/03 13:44
9F：推 xxxl1 : 期望值等於0.85*10*9 11/03 14:03
10F：→ xxxl1 : 变异数等於(0.85*10^2-(0.85*10)^2)*9 11/03 14:04
11F：→ cornerstone : 谢谢楼上的回覆！请问期望值和变异数都可以直接*9 11/03 16:00
12F：→ cornerstone : 是跟线性关系有关吗？谢谢！ 11/03 16:01
13F：推 tt7775321 : 9次都相互独立 11/03 16:25
14F：推 goshfju : Var(X1+…+X9)=Var(X1)+…+Var(X9)=9Var(Xi) 11/03 17:50
15F：→ goshfju : 独立的关系不会有共变异数 11/03 17:51
16F：→ cornerstone : 原来是因为独立可以直接乘，谢谢每一位的解答和留言 11/03 21:55
17F：→ yhliu : X~bin(9,0.85), Y=10*X, E(Y)=10*9*0.85 11/04 09:16
18F：→ yhliu : Var(Y)=10^2*Var(X)=100*9*0.85*0.15 11/04 09:17
19F：→ cornerstone : 谢谢yhliu大列出式子，很清楚！真的感谢大家的帮忙 11/04 23:05