※ 引述《harry921129 (哈利~~)》之铭言： : a,b,c为正实数， 0<x<1 : 且c >= a >= b : 若c^x = a^x + b^x : 证 c > a+b : 我是以 （a^x +b^x)^(1/x) 为递减函数去证明 : 但是有点麻烦 : 就要请教不知道还有没有其他更好的方法 首先 c > a + b <==> c^x > (a+b)^x <==> a^x + b^x > (a+b)^x <==> (a/(a+b))^x + (b/(a+b))^x > 1 再来 在闭区间 [0,1] 我们定义一个函数 f(t) = t^x + (1-t)^x 他的导函数 f'(t) = x/t^(1-x)/(1-t)^(1-x)*[ (1-t)^(1-x)-(t)^(1-x) ] 因为 0 < x < 1， 我们可以得到 f'(t) > 0 in [0,1/2) and f'(t) > 0 in (1/2,1] 也就是说 f(t) 在 [0,1/2) 这段是严格递增，而在 (1/2,1] 这段则严格递减 所以，f(t) 在 t= 0 和 t=1 的时候达到最小值 1 最後 考虑 v = a/(a+b)，很明显v值大於0且小於1 故 f(v) > 1，这样我们就有 f(a/(a+b)) > 1 <==> (a/(a+b))^x + (b/(a+b))^x > 1 Q.E.D. 这样有比较不麻烦一点吗？ -- 与角卷绵芽去KTV唱歌 https://i.imgur.com/VFmibkg.jpg https://i.imgur.com/174vz3L.jpg 原图出处：https://twitter.com/Iwahadada/status/1384422041240039428 --

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