作者cornerstone (cornerstone)
看板Math
标题[中学] 排组的问题
时间Thu Oct 13 21:32:14 2022
不好意思，又想请教大家一题数学问题，
有附上我的想法，但需要板上朋友们帮忙。
有m个（m大於等於2）不同的球，以及n个(n大於等於2)不同的球袋，
把球全部分装到球袋里後，
有多少种情形是「有至少两个球被分到同一个球袋里」？
（假设题目是m个相同的球分到n个不同的球袋，就可以用重复组合H的公式，
可是这题是不同的球和不同的球袋，还能有公式吗？）
我目前是用具体的数字来想，然後想到这个题目可能要分两种情况来想，
第一种是球比球袋多时:
假设有三个不同的球和两个不同的球袋，这时有(3,0)和(2,1)两种情况
因为球和球袋都不同，所以(3,0)时有两种分法
(2,1)时有(C3取2)*(C2取1)＝6种分法，所以总共就是8种分法
另一种想法是，因为不管怎麽分，都一定会有两颗球被装到同一个袋子里，
所以也就是全部的分法：2^3 (每个球都有两个球袋的选择)
第二种是球比球袋少时：
假设两个不同的球和三个不同的球袋：
因为要算至少有两颗球被分到同个球袋里，
所以就只能从三个球袋里选一个装两颗球
(C3取1）= 3 种分法
但因为数字太小，所以又增加一点变成
六颗不同的球分到四个不同的球袋里，这时也因为球比较多，
不管怎麽分都会有袋子装至少两颗球
也就是全部随便没有限制的分法：4^6
但假设四颗不同的球要分到六个不同的袋子里，
而且最少有两个球分到同一个袋子里的情况就有很多种：
(这里开始就有点不太确定了...)
我是列出各种状况：
(2, 1, 1, 0, 0, 0) => 其中一个袋子装两颗，另外两个袋子各装一颗
但因为球跟袋子都不一样，所以:
(C6取1)*(C4取2)*(C5取1)*(C2取1)*(C4取1)*(C1取1)=1440
从6个袋子取一个乘上从4颗球里取2颗...依此类推，请问是这样吗？
(2, 2, 0, 0, 0, 0)
(C6取1)*(C4取2)*(C5取1)*(C2取2)=180
(3, 1, 0, 0, 0, 0)
(C6取1)*(C4取3)*(C5取1)*(C1取1)=120
(4, 0, 0, 0, 0, 0)=>其中一个袋子装四颗球，所以就有(C6取1)=6种情况
所以共有1746种情况
但回到问题本身，所以如果m个不同的球和n个不同的球袋，
有多少种情况是至少有两颗球被分到同一个球袋里？
如果m>n的话，应该就是n^m？
但如果n>m时，都不知道数字的状况下，要怎麽列出不同的情况再加以计算呢？
希望能帮忙解惑一下，谢谢！
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1F：推 FanFlyAway : 可以考虑相反的状况：「每个球袋最多只能装一颗球 10/13 22:03
2F：→ FanFlyAway : 」，也就是说「球都要进不同的球袋」，这样的状况 10/13 22:03
3F：→ FanFlyAway : 会有 n!/(n-m)! 种 10/13 22:03
4F：→ FanFlyAway : 所以总共有 n^m - n!/(n-m)! 种 10/13 22:03
5F：→ FanFlyAway : 另外四球装六袋的讨论里，状况一和状况二都有两个 10/13 22:08
6F：→ FanFlyAway : 袋子装同样个数的球，要视为同类的袋子，所以实际 10/13 22:08
7F：→ FanFlyAway : 的种类数都要除以 2 10/13 22:08
8F：→ FanFlyAway : 例如状况二应该是袋子有 C(6,2) 种选法，球放入袋 10/13 22:09
9F：→ FanFlyAway : 子有 C(4,2) * C(2,2) 种选法，相乘是 90 种 10/13 22:09
10F：→ cornerstone : 谢谢谢谢！竟然没想到相反就是每袋最多只能装一球 10/13 23:56
11F：→ cornerstone : 看完才发现：n!/(n-m)!其实是P的算法，这样看来因为 10/13 23:58
12F：→ cornerstone : 我只考虑球>球袋或是球袋>球，如果是球袋=球，那就 10/13 23:58
13F：→ cornerstone : 变成m!或n!了（m!=n!）？也真的非常谢谢你点出我重 10/13 23:59
14F：→ cornerstone : 重复计算的部分，真的发现思维漏洞很多，谢谢指点！ 10/14 00:00