※ 引述《SC333 (SC)》之铭言： : 在其他版看到一题极限的问题想请教 : lim [(n^2 + 2n -1)^1/2 - (n^3 +2n^2 -1)^1/3)] : n→∞ : 看到有人提出的想法是 : 将 (n^2 + 2n -1)^1/2 配成 [(n + 1)^2 -2]^1/2 : (n^3 +2n^2 -1)^1/3) 配成 [(n+2/3)^3 - 4n/3 -35/27]^1/3 : 然後分别 提出 (n + 1) 以及 (n + 2/3) 剩下根号内的数都会趋近於1 : 所以两个相减 就是 1/3 : 看似很合理 : 可是照这个逻辑 : 在原式直接个别提出 n 然後两个根号内的数也会趋近於1 n - n 就变成0了 : 甚至 原式根号内想配成 任意的平方项及立方项後提出也可以 : 这样答案就有很多种不同的可能 : 想问 这种想法有没有什麽依据或是限制条件呢? 没有什麽限制。 其实这个做法是可以发展下去的，你只是不知道该怎麽继续算而已。 (n^2 + 2n -1)^(1/2) - (n^3 +2n^2 -1)^(1/3) = n*(1+2/n-1/n^2)^0.5 - n*(1+2/n-1/n^3)^(1/3) = n*(1 + 1/n-0.5/n^2 + ...) - n*(1 + 2/3n-1/3n^3 + ...) = n-n +1-2/3 -0.5/n+1/3n^2 + ... → 1/3 as n→∞ 中间用的是泰勒展开，或者在这里也可以叫他二项式定理。 但是要保证这个计算是对的，这件事会比较不好说清楚。 至少对高中课纲内会不好谈。 : 这一题如果用高中有理化的作法该怎麽做比较好呢? : 谢谢 [(n^2 + 2n -1)^(1/2) -n] - [(n^3 +2n^2 -1)^(1/3) -n] 然後各自用平方差公式和立方差公式处理。 或者 [ (n^2 + 2n -1)^3 ]^(1/6) - [ (n^3 +2n^2 -1)^2 ]^(1/6) 看成两个六次式的六次方根之间的差， 然後用六次方差公式（a^6-b^6 = (a-b)*(a^5 + a^4*b + ... + b^5)）处理。 这都是高中最常用的有理化招式的连携技。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 163.13.112.58 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1665599150.A.94D.html 是啊。不过算法本来就百百种，都能到罗马就是了。 ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 10/13/2022 04:20:48