※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言： : 想请问有关双向递回函数的综合性跟推导问题 : 每个问题我都会下一个标题, 之後再进行详细陈述, 最後加一些自己的猜测 : 顺带一提, 【问题三】是基於【问题二】的猜测是成立的 : 也是我主要想问的问题, 不过要先把【问题一、二】厘清才能讲得清楚 : ------------------------------------------------------------------- : 【问题一】双向递回函数是否给定初始值後就存在唯一 : 我们知道单向递回函数的(a) 存在性: by递回定理的变形 : (b) 唯一性: by数学归纳法 : 严格叙述即是: 令f:R^k X N→R为一函数, N是正整数集合, R是实数集合 : 则任给k个实数y_0~y_(k-1) : 存在唯一的数列y_n:N→R : 使得y_n = f(y_(n-1),...,y_(n-k),n) for all n>=k : = y_i for n=0~k-1 : 以上是k阶递回方程的一般式, 我为了跟双向做比较, 称上面叫作单向 : 而现在我们考虑双向k阶递回方程: : 令g:R^k X Z→R为一函数, Z是整数集合, R是实数集合 : 则任给k个实数y_0~y_(k-1) : 是否存在唯一的数列y_n:Z→R : 使得y_n = g(y_(n-1),...,y_(n-k),n) for all n != 0~k-1 : = y_i for n=0~k-1 : 我先不在乎存在性, 光是唯一性就让我觉得有顾虑了 : 假设有两个数列y_n, Y_n满足上式, 则数学归纳法只告诉我y_n = Y_n for n>=0 : n<0的部分完全无从检验, 因为整体的定义方向是正向的, 负向没有g的反函数 : 这部分我有几个猜测: : (1) 我对双向递回函数的定义有误? : (我一定要讨论双向, 因为涉及到後面讯号处理的数学问题) : (2) 确实双向递回函数不一定有唯一性, 而如果g是线性的, 就可以导出存在唯一性 : 例如: y_n = y_(n-1) + y_(n-3) + x_n : y_0, y_1, y_2 given : 则y_(n-3) = -y_(n-1) + y_n- x_n : 因此就可以获得负向传播的资讯 : 【问题二】讯号处理中使用Z转换解差分方程是唯一解 : wiki跟书本几乎对於下列名词一起讨论: : (a) Z转换(Laurent级数的变数取倒数) : (b) LTI, 线性差分方程, FIR, IIR : (c) 转移函数(transfer function) : (d) 频率响应 : 举个例子: 考虑差分方程y_n = y_(n-1) + y_(n-2) : 则同取Z转换得到 Y(z) = Y(z)/z + Y(z)/z^2 : 因此得到Y(z) = 0 : 然後反Z转换得到y_n = 0, 零数列, 确实是解 : 参考 https://imgur.com/7HPYRPT.jpg : 再来叙述我所遇到的问题: : 假设线性差分方程具有【问题一】的存在唯一性 : 即k阶线性差分方程只是k阶双向递回方程的一种 : 并且任给k个初始值就会唯一决定整条数列 : 那不难知道: : (1) 任给两个满足同一条k阶线性差分方程的数列y_n, Y_n:Z→R : 如果存在连续k个整数使得函数值相同, 那y_n = Y_n for all n€Z : (存在唯一性定理的立即结论) : (2) 同一条k阶线性差分方程, 存在无穷多组解 : 但是！上面的结论跟Z转换解差分方程是唯一解是矛盾的 : 因为如同我的举例或是图片, 取Z转换後再反Z转换回来, 得到的是唯一的y_n : 没有给你选择k个初始值的地方 : 而我个人对於解释矛盾的猜测如下: : 矛盾来自於Z转换解线性差分方程的严谨性 : 因为涉及: (a) 是否存在收敛圆环 : (b) 解析函数的相除 : (c) Z与反Z转换的条件 : 所以综合起来的解释就是: : 《线性差分方程有无穷多组解, 但是能让(a),(b),(c)都过的解只有唯一一组》 : 也就是说: (A) Z转换得到的解只是其中一组初始值所得到的解 : (B) 只有唯一一组初始值可以让Z转换解法well-defined : (C) 线性差分方程中, 只有唯一一组初始值能写成y_n = (h＊x)_n的形式 : (这个推论是来自於Z转换的性质, 数列摺积的Z转换等於各自Z转换相乘 : 这也是为什麽转移函数是定义成y的Z转换除以x的Z转换) : (D) 只有唯一一组初始值才是LTI系统 : (如果(C)对, 这个就对) : 如果我以上的解释是对的, 那我采用这些解释当已知, 询问下面的问题 : 【问题三】如果以上解释是对的, 那如何解释下面这些问题 : (1) 如何知道Z转换解法的唯一解是由哪一组唯一的初始值得到的? : 还是就是结果论去用Z转换解出解, 自然就得到所有的值了 : (2) 工程实作上对於线性差分方程的处理如下: : (a) 使用Z转换得到转移函数(如上面连结的H(z)) : 如果想要得到频域响应, 就考虑|H(exp(iw)| : (b) 实作时就是令初始值为0, 让电脑去跑线性差分方程 : 那矛盾就来了, 用转移函数得到的分析结果, 不就是默认你考虑的解y_n是唯一那组 : 可以用Z转换解得的解, 那组解有那麽刚好初始值都是0? : 我目前只能对这矛盾的猜测是: : (1)《假设初始值为0的解就是Z转换解得的解》 : 当然我如果是这假设还蛮不舒服的, 应该有其他道理 : (2) 不用假设, 初始值为0的解纵然跟Z转换解得的解不同也没关系 : (注意，如此一来就不是LTI系统, 因为只有Z转换那组解才能写成摺积) : 因为会存在某种工程上可以接受的近似关系(那是什麽?) : --------------------------------------------------------- : 完全解决以上联贯问题的1000p奉上 : 其他有帮助到我的idea也会p币感谢 : 谢谢帮忙~做讯号处理以来卡最久的逻辑问题就是这块了 : 终於整理出一个好询问的脉络了... 关於问题一 a[n]: Z->R 双边差分方程 a_k=f(v_k,n), a_i表示数列a[n]'s kth term v_k=[a_0,a_1,....a_(k-1)]属於 R^k n属於 Z f: R^k x Z ->R (视情况要有好的条件) 线性常系数齐次时: a_k=g(v_k) g: R^k ->R 且g(c*v_k)=c*g(v_k) for all c属於R 像上面讨论的线性常系数齐次方程可反向求回,具存在唯一性 不过对於一般的f(．)的唯一性 我好像找到一个简单的反例: a_n= sin( pi*(a_(n-1)) ) 第一个数列 b_n=0 for all n属於Z 第二个数列 c_n: Let c_0=0 可得 c_i=0 ,for all i>=0 c_(-1)=1 c_(-2)=1/2 c_(-3)=arcsin(1/6) / pi c_(-4)可以设定成 arcsin[c_(-3)] / pi 因为1/6<1/2 ,arcsin[c_(-3)]< pi/6 所以c_(-4)<1/6 Let c_(-n-1)= arcsin[c_(-n)] ,for n>=4 c_(-n)< 1/6< 1/2 arcsin[c_(-n)]< pi/6 所以c_(-n-1)< 1/6 Obviously, c_(-n)>0 ,for n<0 Hence, 0 <c(-n)<1/6 and well-defined for n属於Z 得到c_n!=b_n 但满足相同双边差分方程 至於问题二三.... 我从最简单等差级数下手 a_(n+1)=a_n+1 但bilateral Z transform does'nt work for constant...... unilateral还能解 所以应该是V大和z大讨论的结果,因ROC有所限制也同时限制了可以解的DE 至於详细bilateral Z transform做出来的到底是符合甚麽初始条件和对应的h.. 感觉要细究很多z大所提及的那些限制 是否holomorphic ROC限制transform是否存在等.. 本人力有未逮 非本人之能力所及 补眠去 加油 不过还是可以做一个小结 如果连1st-order DE 和 sin()这麽好 满足各种存存在唯一性需要条件的函数 都没办法让他的 双边数列 解(x_n) 有唯一性的话 那其实也不用去考虑初始条件 因为不管你选哪一段(k阶k个)初始条件 都只能往後面确保唯一性 (如果双边递回用这个定义) 无论考虑哪一段 前面总可能跑出多个可能 所以初始条件完全不能保证前面的项 取而代之 就变成存在性比较重要了 至少存在就好 平常起手势 用Z-transform 转到frequency domain拿到response 之後让初始条件为零去跑 就至少得到一个解往後的资讯 前面反向资讯就算有初始条件他也可能不是唯一的 而且bilateral Z-transform 这个mechanism works 也挺严格的 就是ROC和上面讲的那些... 通过後就有存在性了 他变成一个多对一的结果(Perhaps) 以前学PDE的时候也没在管所有解也不一定有唯一性了(还有更多没有存在性) 我是在想z大是否想回推反向资讯才在意唯一项问题 看是否能用初始条件确保? --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 203.204.39.221 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1662776374.A.935.html ※ 编辑: bluepal (203.204.39.221 台湾), 09/10/2022 19:01:04 ※ 编辑: bluepal (203.204.39.221 台湾), 09/10/2022 21:53:26