※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言： 数山 :另外关於加上任意的A项与B项的回应, 想请教一个"看法" :线性ODE或是单/双向差分方程, 都有下面相似的结论: :(1) 不论齐次或是非齐次, 给定初始值则唯一解 :(2) 齐次解空间可写成待定系数的基解的线性组合, 系数由初始值决定 :(3) 非齐次解空间可写成齐次解加上特解, 因此结合(2)的话, 非齐次解就是待定系数的 :基解的线性组合加上特解, 即V大说的A,B加上摺积特解的形式 :我好奇的是, 找不到一个说服自己的看法来解释"为什麽特解跟初始值无关" :虽然我们可以任意拿非零的A,B说他是特解, 但是我们知道"最去芜存菁"的特解是A=B=0, :只保留摺积项 :目前我只能以"线性好棒棒 所以刚好对任何非齐次方程的非齐次项x, 都存在与初始值无 :关的特解" :嗨V大, 通解 = 与初始值相关的齐次解线性组合 + 与初始值无关的特解, 然後依照不同 :的边界条件会得到去掉某些项的结果(去芜), 这些我没有问题! :我的疑问在於最初怎麽"猜到"有这样的形式可以分解, 尤其是可以分解出後者--与初始值 :无关的特解 :我回文的问题是, 目前我给自己的说法不外乎是这些: :1. 线性好棒棒 所以可以这样很正常 :2. 以前数学家很厉害, 刚好发现可以这样 不小心多删了一行 我没有听过很多数学史也不熟 我'觉得'你心里的疑惑应该是 怎麽平平在解 ODE DE 还是线性代数 为什麽有分 齐次解 特解就算了 明明初始条件很重要 跟解很有关系 为什麽只有在 解出这个问题的 '解'时 只有在解齐次解的时候用到初始条件 看起来却跟特解好像毫无相关? 这次莫名其妙的不对称性 比较基本的线性的题目大都可以写成 Ax=b A可以是线性算符或矩阵 那从最简单的考虑 2x+3y=1 5x+6y=4 我也不想解他 可是他齐次解是 [0,0]^T 特解就是解 所以问题有趣时应该在 2x+3y=1 6x+9y=3 齐次解是1dim'l可以用row space perb 看 特解就不只一个了 可以用colomn space 看 可是真的去解就会直接发现 凑出一个特解来以後想得到令一个特解 最快的方法就是靠 加上齐次解空间里的东西 可以同样得到1dim'l的特解 特解的空间不是线性空间 是二维平面上的affine space 用三维的比较好想像 想成一根竹签一端插在三维座标的原点上面 另一头顶着一个平面 (想像中当然是有限大小) (以下讨论的座标向量指的是以原点为起点的向量) 如果把那个平面平移到和原点相交 他就是齐次解空间 可是那是Ax=0的解 所以实做上都是求一个特殊的x_p使 A(x_p)=b x_c为待定的Ax=0 解空间中的齐中一个解 最後由初始条件决定x_c'後 一个IVP Ax=b (with initial conditions)的解为: x'=x_c'+x_p 同时满足 Ax'=b 和初始条件 如果在不考虑初始条件的情形下 其实整个解空间(affine space)都是Ax=b的解 也就是说 x可以是那根竹签 以原点为起点和平面上任何点为终点 形成的座标向量 或 特定函数空间的函数 在先不论 初始条件 下 ODE和有限维线性代数简单的理论告诉我们这个affine space包含所有的解 因此无论 初始条件是甚麽 答案都逃不出那个平面 所以一个方便的流程其实只是 (1)先随便找到一个最好找到的特解(某根竹签座标向量 插到那个平面) 虽然特解一定在这个平面上可是不太有机会第一次就找到 必须移动竹签的终点 找到满足初始条件的终点位置 (2)因为齐次解空间用向量来看 跟那个平面其实是相同东西 所以可以从刚才的特解 加上 某个齐次解空间中的解 让他变成满足初始条件的解 That's all. 如果问题点是我'觉得'的那个不对称性 我认为不对成性纯粹来自於流程的方便 否则 齐次解空间 (满足Ax=0和各种初始条件) 和 那个affine space 特解的解空间 (满足Ax=b和各种初始条件) 两个都是二维空间in this case 都有无限多个 没有甚麽理由只能初始条件来直接决定必然的齐次解 x=x_c+x_p (x_c,x_p) pairs的可能可以有无限多种 即使是用原始的流程也会因为x_p的选择有相对应无限多种的x_c 先找到某个x_p充其量是先用掉整个IVP的一个条件而已 剩下的条件用在找x_c上 刚看到V大的推文说没有哪个解比较不平等 这句话更general 把通解想成affine plane {x_p+x_c'| x_c属於null space of A} (在Ax=b有无限多解的case) 其实null space of A(或是齐次解) 也只是x_p=0 的一个特例 对应 Ax=b 当b=0的特例 也就是那个竹签插平面的竹签(x_p)长度可以伸缩或反向 或没有长度(x_p=0) 接着再考虑初始条件 看他落在上平面(可以通过原点or not)的哪个位置 如果坚持初始条件是拿来解Null space 那些C1 ,C2 ,C3.... 也可以看成直接在解对应初始条件的特解 x= x_p + C1*v1 +C2*v2.......Cn*vn vi是basis of N(A), 假设dim(N(A))=n Ci是这个vactor space对应的scalar i=1, 2...., n x_p=0时 才刚好是齐次解 一样对应 Ax=b, b=0时 而且其实 若说考虑一些以前1st或2nd oder ODE 很多非齐次非线性可以解的情形 (separable, integrating factor, Bernoulli, Riccati, Cauchy-Euler 等一堆可以解的特殊ODE cases) 他们的C1 (,C2)也都各自留在各处不同地方 等着初始条件去决定 另个例子 线性ODE可以考虑一次的 y'=3x^2 好了 也可以说以前一眼就可以看出来 他有x^3这解外至少肉眼也可以看出x^3+C(real number)也都是解 也没有分 解y'=0的通解 在开区间上所有的解是C 找y'=3x^2 任一特解 y_p=x^3+1好了 然後y=x^3+1+C 再考虑初始条件y(0)=2好了 解出C=1 y=(x^3+1)+(1) y_p y_c 重来再解一次也可以选x^3-1 y_p=x^3-1 y=x^3-1+C 解出C=3 y=(x^3-1)+(3) y_p y_c 愿意的话也可以先决定C 再找特解 k-th order常系数线性ODE也是 只是最後特解是 "'原本版本的特解'尾巴加上e^at的linear combination" 可行性降低许多 这样应该比较没有不对称的感觉了? --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 203.204.39.221 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1662740451.A.DC4.html 改错字 ※ 编辑: bluepal (203.204.39.221 台湾), 09/10/2022 00:33:25 互相 ※ 编辑: bluepal (203.204.39.221 台湾), 09/10/2022 00:36:09 ※ 编辑: bluepal (203.204.39.221 台湾), 09/10/2022 15:57:24 ※ 编辑: bluepal (203.204.39.221 台湾), 09/10/2022 21:49:10