谢谢V大回应, 推文很难看, 我逐段以这色回文 ※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之铭言： ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言： : 嗨r大, 最後问个实作与理论结合性的问题: : 考虑 y_n - (3/2)*y_(n-1) - y_(n-2) = 2*x_n - x_(n-1) 这个差分方程 : 使用双向Z转换的话, 可以找到三个h_n使得y_n = (h＊x)_n, 分别是: : : h1_n = 0.8*(-1/2)^n*u_n + 1.2*2^n*u_n : h2_n = 0.8*(-1/2)^n*u_n - 1.2*2^n*u_(-n-1) : h3_n = -0.8*(-1/2)^n*u_(-n-1) - 1.2*2^n*u_(-n-1) : : 其中u_n := 1 , n>=0 : 0 , n<0 这三个对应的 H 刚好有着互斥的 ROC。 而彼此之间的差，会是 (-1/2)^n 和 2^n 的线性组合。 令这三个h叫作h1_n, h2_n, h3_n 这是指(1) h1_n - h2_n = A*(-1/2)^n + B*2^n 还是指(2) (h1＊x)_n - (h2＊x)_n = A*(-1/2)^n + B*2^n, 其中A,B与x有关 --(●) 而依照後续回应, 假设您说的是(2) 所以原方程的一般解应该是 A*(-1/2)^n + B*2^n + (h＊x)_n。 最後那项只是个特解，是我们希望要有某种性质的特解。 例如：当 n<0 时，y=0。 这里说的原方程的一般解, 严格叙述是否如下: 令x_n固定, 则解空间 S:= {y_n│y_n - (3/2)*y_(n-1) - y_(n-2) = 2*x_n - x_(n-1)} 会满足 S = {A*(-1/2)^n + B*2^n + (h＊x)_n│A,B€R} 若是的话, h是哪一个h? 还是任意一个都可以 也就是说, {A*(-1/2)^n + B*2^n + ((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n│A,B,a,b,c€R} = {A*(-1/2)^n + B*2^n + (h1＊x)_n│A,B€R} ((●)可立得此等号) V大是这个意思吗? 虽然解了三个 h 出来，但其实能用的 h 还有无限多个。 而这三个之所以特殊，就是因为他们各自对应一些边界条件。 能用的h无限多个就是h1,h2,h3的线性组合? 可是因为这三个h的ROC不一样, 把他做线性组合我怎麽觉得抖抖的XD 还是说做了线性组合後(比如h:=h1+h2+h3), 可以做时域摺积h＊x 但是就不能做z转换了, 因为ROC互斥, 这就是我觉得抖的地方? : : 接着有两个实作上的问题: : (1) 单纯考虑差分方程有无穷多组解(初始值决定) : 我怎麽知道要怎麽设初始值, 才是我要的对应到的h_n的y_n? : 例如取怎样的x跟y的初始值则会有解y_n会等於(h1＊x)_n : 如果 x 项数有限(compactly supported)，那任何一个 h 都无所谓。 而如果 x 没有 compact support 的话，就得看 X 的 ROC 了。 的确如推文中 r 大所言，要找有交集的去算。 但问题也在这里，x_n = 1 这个 1 数列，他的 X 是处处不收敛的。 而这个数列好像也在你有兴趣的范围里面（BI），所以总有打交道的机会。 我的原问是"如何选定初始值", 而您回应任何一个h都无所谓 是不是因为: 若x有紧致支撑 则拿h1,h2,h3的任意线性组合当h所得到的y_n := (h＊x)_n 都会是相同的y_n? 即{y_n│((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n, for any a,b,c}的元素个数只有1 这结论好像怪怪的...我应该是有误会你"任何一个h都无所谓"的意思了? 而且即便是对的, 跟原问题说的"如何选定初始值"存在怎样的关系呢? 随便选初始值 => 解y_n = A*(-1/2)^n + B*2^n + ((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n for some A,B,a,b,c€R 然後我就看不出来当x有紧致支撑时, ((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n这项为什麽会一样 : (2) 假设(1)的问题完美解决, 即针对我要的h我都可以找到我要的初始值 : 那选哪个h重要吗? 因为这三个h的H(z)都一样(只是不同ROC) : 所以频率响应 H(exp(iw))也是一样的(甚至相位都一样), : 那我随便选一个h来当filter不就相同效果? 毕竟这些 h 其实是这样找出来的：脉冲δ(0,n)输入的响应。 所以 h 自然与 x 无关。 而任何一个 x 都可以看成是 δ＊x。 所以 y_p 也自然就会是 h＊x，而一般的 y 就是跟 y_p 差个齐次解。 上面这两段给我一种"好像理解了什麽"的感觉, 但是又说不上来XD 如果我先给了h, 那令x_n=δ(0,n), 自然得到 h_n = (h＊x)_n 而x_n = (δ＊x)_n 能类推 y_p_n = (h＊x)_n, 就只能说略懂略懂... 上述过程与微分方程中，藉由源项δ(x-x')来找出响应 G(x,x') 的方式相同。 所以在找 Green's function 中用到的方法、遇到的困难， 在这里也都能看到离散的版本。 没学过连续型Green's function, 目前难以做类推QQ 另外V大这大段的回应, 针对我原问"随便选一个h来当filter不就相同效果"的结果是yes? 也就是说, 今天不管我怎麽选h = a*h1+b*h2+c*h3, 我都可以做y_n = (h＊x)_n 其中y_n会满足差分方程(因此是解) 但是这样又很奇怪, 因为h1,h2,h3有互斥ROC, 一旦做了线性组合, 只要其中两个系数 不是0, 那就不能做z转换, 因此论及频率响应就毫无意义, 因为不收敛 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 163.13.112.58 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1662602751.A.966.html --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 36.230.129.81 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1662632322.A.E56.html 相加等於1感觉舒服多了, 我再多多体会一下 另外关於加上任意的A项与B项的回应, 想请教一个"看法" 线性ODE或是单/双向差分方程, 都有下面相似的结论: (1) 不论齐次或是非齐次, 给定初始值则唯一解 (2) 齐次解空间可写成待定系数的基解的线性组合, 系数由初始值决定 (3) 非齐次解空间可写成齐次解加上特解, 因此结合(2)的话, 非齐次解就是待定系数的 基解的线性组合加上特解, 即V大说的A,B加上摺积特解的形式 我好奇的是, 找不到一个说服自己的看法来解释"为什麽特解跟初始值无关" 虽然我们可以任意拿非零的A,B说他是特解, 但是我们知道"最去芜存菁"的特解是A=B=0, 只保留摺积项 目前我只能以"线性好棒棒 所以刚好对任何非齐次方程的非齐次项x, 都存在与初始值无 关的特解" 想请问V大有什麽看法可以分享吗, 谢谢! ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 09/09/2022 05:51:14 嗨V大, 通解 = 与初始值相关的齐次解线性组合 + 与初始值无关的特解, 然後依照不同 的边界条件会得到去掉某些项的结果(去芜), 这些我没有问题! 我的疑问在於最初怎麽"猜到"有这样的形式可以分解, 尤其是可以分解出後者--与初始值 无关的特解 我回文的问题是, 目前我给自己的说法不外乎是这些: 1. 线性好棒棒 所以可以这样很正常 2. 以前数学家很厉害, 刚好发现可以这样 所以才想问你们比较了解这类问题的人, 对於"可以分解成这样"有没有什麽私人的看法或 是历史可以分享 谢谢~ ※ 编辑: znmkhxrw (111.255.240.51 台湾), 09/09/2022 22:41:42 刚好V大你用Ax=b当例子, 我就是从这个方程为基准才会询问上面说的"看法"问题: 考虑Ax=b的解空间S(假设非空) 任取S中的其中一个元素p, 在线代我们就称p是Ax=b的一个特解 而接着可以证明任取Ax=b的其中一个解q, 则p-q是Ax=0的解, 因此才证得Ax=b的解空间可 以写成Ax=0的解空间加上一开始任取的固定特解p 我就是从上述为出发点来看待差分方程, 一样令y_p是某个非齐次差分方程(因此x_n固定) 解空间的一个解, 则一样可以推出此非齐次差分方程的解空间是齐次差分方程的解空间加 上y_p, 而初始值就是决定齐次差分方程的解的系数 接着就是问题了, y_p是我仿造Ax=b的逻辑下, 固定x_n後任取的一个解, 但是不同点在於 , y_p在ODE或是差分方程中, 可以"去芜存菁"成一个可以变动x_n以及跟初始值无关的表 达式, 我的疑问就是在於"哇好神奇 怎麽可以这样, 感觉比Ax=b多出更强大的性质耶" (另开个小补充, 我们知道Ax=b有解等价於AA^+b=b, 也就是说A^+b的地位给我一种感觉是 相当於上述的y_p..., 如果确实地位是一样的话, 那我的问题或许就是在於哇, 为什麽知 道会存在这个特殊的特解跟初始值无关, 只跟非齐次项b做变动, 即p = A^+b <=> y_p = (h conv x)) ※ 编辑: znmkhxrw (111.255.240.51 台湾), 09/09/2022 23:58:55 应该说我也觉得都是平等, 反而是非齐次差分方程的那个"跟初始值无关的特解"让我觉得 好不平等, 为什麽能分离出那麽漂亮的形式, 而且这形式又跟初始值无关 因为以我上述Ax=b为思考出发点的话(不考虑伪逆矩阵造的那个解), 特解只是固定了非齐 次项後, 从非齐次解空间取出的任何一个元素而已, 取谁地位应该都一样 但现在神奇的是 "Ax=b中的A^+b" 与 "差分方程中的h conv x", 他们都是地位比其他特 解高一等的特解, 尤其是後者, 这个特殊的特解与初始值无关(Ax=b这种型的无法加入初 始值这个变因, 严格来说跟非齐次差分方程也难以完全类比XD) 小结来说, 我这些没定义的疑惑以及觉得神奇的地方很主观, 可能只有我觉得这样, 所以 我就多听听别人的想法看有没有机会融合成说服自己的说法 谢谢V大关於这系列的分享~感恩 ※ 编辑: znmkhxrw (1.173.176.60 台湾), 09/10/2022 22:57:55 Ax=b有解 <=> AA^+b = b 这个没错吧!? 所以A^+b只是一个解, 并非Ax=b的唯一解 然後你说自由变数x就是初始值, 这个给我一个类比的方向, 我再思考一下, 谢谢 ※ 编辑: znmkhxrw (1.173.176.60 台湾), 09/10/2022 23:21:29 不会啦! 谢谢你的分享, 我都是滤出可能有用的讯息加以融合, 如果有情绪性或是不相干 的自动忽略XD 反正是来讨论问题的 不会在意没帮助的讯息 倒是我在math版那麽久第一次看见你ID, 像是V, L, r大那些板友都是帮忙回答问题的老 朋友了XDD ※ 编辑: znmkhxrw (42.74.13.6 台湾), 09/11/2022 00:30:59