想请问有关双向递回函数的综合性跟推导问题 每个问题我都会下一个标题, 之後再进行详细陈述, 最後加一些自己的猜测 顺带一提, 【问题三】是基於【问题二】的猜测是成立的 也是我主要想问的问题, 不过要先把【问题一、二】厘清才能讲得清楚 ------------------------------------------------------------------- 【问题一】双向递回函数是否给定初始值後就存在唯一 我们知道单向递回函数的(a) 存在性: by递回定理的变形 (b) 唯一性: by数学归纳法 严格叙述即是: 令f:R^k X N→R为一函数, N是正整数集合, R是实数集合 则任给k个实数y_0~y_(k-1) 存在唯一的数列y_n:N→R 使得y_n = f(y_(n-1),...,y_(n-k),n) for all n>=k = y_i for n=0~k-1 以上是k阶递回方程的一般式, 我为了跟双向做比较, 称上面叫作单向 而现在我们考虑双向k阶递回方程: 令g:R^k X Z→R为一函数, Z是整数集合, R是实数集合 则任给k个实数y_0~y_(k-1) 是否存在唯一的数列y_n:Z→R 使得y_n = g(y_(n-1),...,y_(n-k),n) for all n != 0~k-1 = y_i for n=0~k-1 我先不在乎存在性, 光是唯一性就让我觉得有顾虑了 假设有两个数列y_n, Y_n满足上式, 则数学归纳法只告诉我y_n = Y_n for n>=0 n<0的部分完全无从检验, 因为整体的定义方向是正向的, 负向没有g的反函数 这部分我有几个猜测: (1) 我对双向递回函数的定义有误? (我一定要讨论双向, 因为涉及到後面讯号处理的数学问题) (2) 确实双向递回函数不一定有唯一性, 而如果g是线性的, 就可以导出存在唯一性 例如: y_n = y_(n-1) + y_(n-3) + x_n y_0, y_1, y_2 given 则y_(n-3) = -y_(n-1) + y_n- x_n 因此就可以获得负向传播的资讯 【问题二】讯号处理中使用Z转换解差分方程是唯一解 wiki跟书本几乎对於下列名词一起讨论: (a) Z转换(Laurent级数的变数取倒数) (b) LTI, 线性差分方程, FIR, IIR (c) 转移函数(transfer function) (d) 频率响应 举个例子: 考虑差分方程y_n = y_(n-1) + y_(n-2) 则同取Z转换得到 Y(z) = Y(z)/z + Y(z)/z^2 因此得到Y(z) = 0 然後反Z转换得到y_n = 0, 零数列, 确实是解 参考 https://imgur.com/7HPYRPT.jpg 再来叙述我所遇到的问题: 假设线性差分方程具有【问题一】的存在唯一性 即k阶线性差分方程只是k阶双向递回方程的一种 并且任给k个初始值就会唯一决定整条数列 那不难知道: (1) 任给两个满足同一条k阶线性差分方程的数列y_n, Y_n:Z→R 如果存在连续k个整数使得函数值相同, 那y_n = Y_n for all n€Z (存在唯一性定理的立即结论) (2) 同一条k阶线性差分方程, 存在无穷多组解 但是！上面的结论跟Z转换解差分方程是唯一解是矛盾的 因为如同我的举例或是图片, 取Z转换後再反Z转换回来, 得到的是唯一的y_n 没有给你选择k个初始值的地方 而我个人对於解释矛盾的猜测如下: 矛盾来自於Z转换解线性差分方程的严谨性 因为涉及: (a) 是否存在收敛圆环 (b) 解析函数的相除 (c) Z与反Z转换的条件 所以综合起来的解释就是: 《线性差分方程有无穷多组解, 但是能让(a),(b),(c)都过的解只有唯一一组》 也就是说: (A) Z转换得到的解只是其中一组初始值所得到的解 (B) 只有唯一一组初始值可以让Z转换解法well-defined (C) 线性差分方程中, 只有唯一一组初始值能写成y_n = (h＊x)_n的形式 (这个推论是来自於Z转换的性质, 数列摺积的Z转换等於各自Z转换相乘 这也是为什麽转移函数是定义成y的Z转换除以x的Z转换) (D) 只有唯一一组初始值才是LTI系统 (如果(C)对, 这个就对) 如果我以上的解释是对的, 那我采用这些解释当已知, 询问下面的问题 【问题三】如果以上解释是对的, 那如何解释下面这些问题 (1) 如何知道Z转换解法的唯一解是由哪一组唯一的初始值得到的? 还是就是结果论去用Z转换解出解, 自然就得到所有的值了 (2) 工程实作上对於线性差分方程的处理如下: (a) 使用Z转换得到转移函数(如上面连结的H(z)) 如果想要得到频域响应, 就考虑|H(exp(iw)| (b) 实作时就是令初始值为0, 让电脑去跑线性差分方程 那矛盾就来了, 用转移函数得到的分析结果, 不就是默认你考虑的解y_n是唯一那组 可以用Z转换解得的解, 那组解有那麽刚好初始值都是0? 我目前只能对这矛盾的猜测是: (1)《假设初始值为0的解就是Z转换解得的解》 当然我如果是这假设还蛮不舒服的, 应该有其他道理 (2) 不用假设, 初始值为0的解纵然跟Z转换解得的解不同也没关系 (注意，如此一来就不是LTI系统, 因为只有Z转换那组解才能写成摺积) 因为会存在某种工程上可以接受的近似关系(那是什麽?) --------------------------------------------------------- 完全解决以上联贯问题的1000p奉上 其他有帮助到我的idea也会p币感谢 谢谢帮忙~做讯号处理以来卡最久的逻辑问题就是这块了 终於整理出一个好询问的脉络了... --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.102.225.191 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1661013967.A.773.html 针对这句额外提一下, 我很难找我这些问题的资料就是在於一般纯数学根本只会讨论单向 递回, 而双向递回是在差分方程才遇到, 而这个关键字用大多用在工程上, 严谨性好像就 没那麽高 只要有差分方程, 起手式就Z转换灌下去... 纯数上考虑单向递回方程时, 用生成函数的做法就是幂级数化, 解出的解确实还保留着初 始值任意变动 可是双向用Z转换後就把初始值吃掉...我一直找不到这方面的讨论 没错! L大你试的这些基本的我试过, 不可能双边都收敛(除非初始值=0, 那整串都0), 即 Z转换不收敛, 这个结果也跟"Z转换只解出整串都0"相呼应 你猜测的应该跟我问题二的(a)~(c)一致, 就是Z转换解出来的解前提是要让(a)~(c)能过, 而就结果论来说能让(a)~(c)都过的解只有唯一一组 嗨V大~切开的话我觉得对於【问题一】可以有很明确的答案 即双向递回是单向个别唯一存在 可是硬要和在一起就是因为讯号处理/转移函数/频率响应/IIR/Z转换...这些东西 都是直接看合在一起的, 但是没看到在讨论我询问的这些严谨性问题 总之, 分开的话, 只看数学很好解决, 但是无法应付转移函数/Z转换那些东西 合一起的话, 不在乎严谨性很OK, 但是在乎的话就导致我这篇的问题... g是零函数反倒是给出y_n的解, 就是y_n = 0 for all n!=0~k-1 不过如同我【问题一】所说, 如果g不可逆, 几乎没办法推负向的y_n 所以我为了可以进行【问题二、三】, 就假设: (1) g是线性的 (2) g让解有存在唯一性(取决於初始值) 另外针对跟微分方程的比较关系, 我蛮认同的, 有好多东西不一样 像是一阶微分方程x'(t) = f(t,x(t)) 就直接是双向了 (给定x(t_0)=x_0, f够好的话, 存在唯一解定义在包含t_0的maximal open interval) 但是一阶差分方程y_n = g(y_(n-1), n)却很容易只有单向...因为没有g的反函数 不太懂这三句表达什麽, 这连结的双向级数不就是Laurent series? 还是V大是指"极限一起跑(n=-∞~∞)"不一定能拆成影片的极限分开跑? 如同我【问题二】所述, 要达成 https://imgur.com/7HPYRPT.jpg 的推导 我觉得需要加入很多条件, 诸如我所述的: (a) 是否存在收敛圆环 (b) 解析函数的相除 (c) Z与反Z转换的条件 像是x_n是零数列的话, X(z)=0, 连除都不能除 所以如果要加入很多限制(包含你说的限缩空间、Z domain讯号相加要well-defined) 这一点都不意外, 也呼应了" 明明解无穷多, 但是Z转换解出的解却唯一 " 只是查询"转移函数"的相关资料, 不管是离散型差分方程做Z转换, 还是连续型微分方程做拉式转换, 几乎说转就转, 没什麽在乎严谨性 综合以上, 我就是想知道在条件不严谨的情况下, Z转换解出来的唯一解到底是哪一个解 所以我才会觉得唯有把这些严谨化才能有答案... 齐次线性方程的话用Z转换确实如此, 可是非齐次解y_n的话写成齐次解(y_h)加特解(y_p) 时, y_n = y_h_n + y_p_n, 同取Z转换得到Y(z) = Y_h(z) + Y_p(z), 而我们知道Y_h(z) =0 所以Y(z)=Y_p(z), 所以还是有可能存在双向x_n使得Z转换两边都收敛吧!? 嗨r大, 如果硬生生把 https://imgur.com/7HPYRPT.jpg 的差分方程加入初始值 并且只允许单向的递回定义, 另外一个方向直接强迫变成0 那整个系统又变回初始值唯一决定的单向递回函数 我还是想考虑双向的原因来自於严谨推导下列讯号处理词汇的关系: (我下面所述的Z转换都是指双向) (1) y_n = (h＊x)_n, 如果h数列没有紧致支撑则称作IIR系统 (2) Y(z) = H(z)X(z), H为转移函数 (3) https://imgur.com/7HPYRPT.jpg 双向差分方程 可以发现(1)~(3)都是跟y_n的初始值无关的 而目前整理没矛盾的说法是: (a) 若y_n = (h＊x)_n 则Y(z) = H(z)X(z), 其中大写为小写的Z转换(假设Z转换都存在) (b) 若Y(z) = H(z)X(z) 则y_n = (h＊x)_n, 其中小写为大写的反Z转换(假设反Z转换都存在并且有交集ROC) (c) 任给一个差分方程(x_n跟系数), 有无穷多组解满足此差分方程 但是只有唯一一组解可以表达成y_n = (h＊x)_n 如果以上r大都同意的话, 就剩【问题三】, 我如何知道上面(c)的那组唯一解的初始值? 不考虑直接把解解出来的情况, 这样我整条y_n都知道了 换句话说, 我想要知道怎样的初始值才能得到上面(c)那组唯一解 如果答案是没办法的话, 直接设初始值为0几乎不可能是上面(c)那组解罗? 定义: (a) "解"都是定义在双向的 (b) 右Z转换存在表示级数收敛|z|>r, for some r>=0 (c) 左Z转换存在表示级数收敛|z|<R, for some R>0 or +∞ (d) 双Z转换存在表示级数收敛r<|z|<R, for some 0=<r<R<=+∞ 所以给定一个差分方程, 则: (1) 若解的右向Z转换存在, 则解会无限多组, 由初始值决定 (但解的左向未定义) (2) 若解的左向Z转换存在, 则解会无限多组, 由初始值决定 (但解的右向未定义) (3) 若解的双向Z转换存在, 则并不是(1)+(2)拼凑成无限多组解, 反而是只有唯一一组解 (但是无法预测这个解释对应到哪个初始值) 其中绿色的部分我还没证明, 只是依照结果论去做猜测而已 r大的意思是如此吗? y(n)=(h＊x)(n) <=> Y(z)=H(z)X(z) 这个我了解~ 对对! (1)+(2)拼凑出来会是差分方程的解, 但是不一定会存在h使得y(n)=(h＊x)(n)对-∞~+∞都成立 了解~谢谢r大分享, 我再梳理一下 单纯单向线性递回跟双向线性递回的解, 这个在数学很清楚也不会有问题 只是工程数学加入了: (1) LTI<=>表示成摺积 (2) 双向Z转换 (3) 转移函数 (4) causal, anticausal, noncausal 等等这些定义後, 对双向线性递回的解空间产生的怎样的分类 我觉得问题应该是在这些的关系吧~ -------------------------------------------- 嗨r大, 最後问个实作与理论结合性的问题: 考虑 y_n - (3/2)*y_(n-1) - y_(n-2) = 2*x_n - x_(n-1) 这个差分方程 使用双向Z转换的话, 可以找到三个h_n使得y_n = (h＊x)_n, 分别是: h1_n = (-1/2)^n*u_n - (-1/2)^n*u_(-n-1) h2_n = (-1/2)^n*u_n - 2^(n+1)*u_(-n-1) h3_n = (-1/2)^n*u_n + 2^(n+1)*u_n 其中u_n := 1 , n>=0 0 , n<0 接着有两个实作上的问题: (1) 单纯考虑差分方程有无穷多组解(初始值决定) 我怎麽知道要怎麽设初始值, 才是我要的对应到的h_n的y_n? 例如取怎样的x跟y的初始值则会有解y_n会等於(h1＊x)_n (2) 假设(1)的问题完美解决, 即针对我要的h我都可以找到我要的初始值 那选哪个h重要吗? 因为这三个h的H(z)都一样(只是不同ROC) 所以频率响应 H(exp(iw))也是一样的(甚至相位都一样), 那我随便选一个h来当filter不就相同效果? 谢谢帮忙~ 嗨r大, 你们帮忙看就很谢谢了, 对我来说先厘清是我搞复杂了还是真的没那麽简单 就已经是往前一大步了 另外关於你上面回的跟我目前的小结不太一致, 我再次叙述如下: 给定一个k阶线性差分方程: y_n = a_1*y_(n-1)+...+a_k*y_(k-1)+b_0*x_n+...+b_k*x_(n-k) 其中x_n是一个给定的数列 则: (1) 给定初始值y_0~y_(k-1) 则存在唯一的解y_n满足初始值与方程 (2) 令y_n为此方程的一个解, 则不一定存在h_n使得y=h＊x (3) 令y_n为此方程的一个解且y=h＊x for some h 则h也不一定唯一 (像是我举实例的差分方程, 可以用双向Z转换解出三种h, 来自於ROC的不同 所得到的反Z转换的数列也不一样) 而最後问题再次重复: (a) 如果多条h都有同样的Z转换(选取不同ROC), 都满足y = h＊x 那任意选一条h不都有一样的频率响应?(感觉不太合逻辑) (b) 我该如何选定初始值来知道这个初始值所得出的唯一解y_n 跟某条h所导致的y = h＊x是同一个y? (c) 补充一个新发现的问题...在讨论某个解y_n是否存在h_n 使得y = h＊x时, 如果存在的话, 那就逻辑来说h会跟x有关 可是Z转换解出来的h却跟x无关...所有x都能用 我怎麽越来越混乱了@@ 大致上是这样~ ======================================================================= P币答谢到此结束, 有後续讨论就无酬答谢了~ LPH66 200p Vulpix 200p RicciCurvatu 200p recorriendo 1000p ======================================================================== 嗨V大, 这三句在回应哪一点呢? 喔喔!! 蛮像的耶!! 所以可以这样划分: (1) 给定线性差分方程, 解空间当然跟方程里面的x_n有关 而任给初始值就得到唯一解 (2) 给定线性差分方程与其中一个解y_n, 考虑y能不能写成摺积的形式 当然可以硬凑出h使得 y_n = (h＊x)_n, 但是如果这个h跟x有关就是为凑而凑 (3) 承(2), 如果h跟x无关, 就像是V大说的那种积分因子的味道, Z转换就是在解出这个 如果(3)同意的话, 那我的举例中, 同一个H(z)依照不同的ROC解出三种不同的 h是代表什麽意思? 在ODE中积分因子只会有一个(吧? 了解XD (1),(2),(3)都同意! 而(2)+(3)感觉是解掉我问题的关键耶! 因为反Z转换要唯一需要有交集的ROC, 不同的ROC会反Z出不同的数列 所以只会最多只会有一个h_n的Z转换的ROC是盖住单位圆 而我最後要的输出y_n就是在这个ROC上的反逆转换而已 即y_n = Z^-1(Y(z))_n = Z^-1(H(z)X(z))_n, 其中z€盖住单位圆的ROC 也就是说, h,H,y,Y都要依照ROC而改变 那个例子的转移函数H(z)有2个pole(分母是看x的阶数), p = -1/2, 2 所以复平面可以分成三块ROC, |z|<1/2, 1/2<|z|<2, |z|>2 所以才反Z转换得到三个h_n 由此可知有几个h_n是看pole的位置跟数量, 也就是跟x的阶数有关 (当然如果y的阶数提供的zeros可以跟pole消掉也会减少pole) 所以我不认为h_n的数量跟y的阶数是一样的 但是V大你提了初始值的数量就是h_n的数量, 我才觉得怪怪的 ※ 编辑: znmkhxrw (114.25.68.68 台湾), 08/25/2022 16:56:33