作者bethlehem (satesqure)
看板Math
标题Re: [微积] 曲线下方面积求积分极大极小值
时间Tue Aug 2 22:41:24 2022
※ 引述《nyu5765 (盗名寺古刹)》之铭言:
: ㄧ般来说
: 曲线下方面积是用积分方法求
: 如果要求曲线下方面积
: 的极大极小值
: 积分要如何做
: -----
: Sent from JPTT on my iPhone
我想你要问的应该是isoperimetric problem,就是周长已经固定的情况下,围出的最大
面积为何?
https://reurl.cc/vW5RON
这里面蛮详细介绍这个问题解法随着时间的演化
但我想你要的应该是constrained variation method(约束变分法)
这问题相当於 Max or Min ∫f(y,y',x)dx if ∫g(y,y',x)dx=const
假设没有constraint就相当於在解Euler-Lagrange Equation。如果多
了constraint的话,把integral视为黎曼和则此黎曼和为切割後y0~yi的函数,目标
在寻找此黎曼和的极值。将两个积分都表示成黎曼和的形式,在未取极限之前,相当於
在用Lagrange Multiplier,因此极端值出现在f(y,y',x)+λg(y,y',x)满足
euler-lagrange equation时
参考资料
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Lagrange_equation
可参考维基百科中第二种证明Euler-Lagrange Equation的方法
http://www.math.utah.edu/~cherk/teach/5500-19/note6-2.19.19isoperimetric.pdf
constraint variation principle的详细内容
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※ 编辑: bethlehem (101.12.43.141 台湾), 08/03/2022 17:52:31