作者alan23273850 (God of Computer Science)
看板Math
标题[线代] Inner product space over R or C?
时间Fri Jul 29 01:21:47 2022
各位板友大家好，打给贺，太轧贺，小弟又有问题想上来请教各位：
https://i.imgur.com/M3hr1uq.png
这次的主题是关於 inner product space over C 还是 over R 的界定问题，
圣经本 6.1 节最後的习题一直在考变换 inner product 的系数范围，着实让我有点困扰
举例来说，附图中的 27 题很清楚地限定了系数在实数域，这个我没问题，推导也很顺利.
28 题说 [] 是一个单纯撷取内积 <> 的实部部分之函数 (此时 [] 内系数可以是复数)，
只是要证明当 [] 的系数限制在实数的时候，此函数的对应关系亦满足 inner product 的
四条定义，这边我也还过得去，因为有明显的脉络。
但到了 29 和 30 题就很怪了，29 题说 [] 是 real inner product 是指输出为实数，
还是连带输入系数也要是实数呢？後面又说 over R, 那怎麽会有 [x, ix] = 0 呢？
这边出现了复数 i 呢。又下一句 <x,y> = [,] + i[,], 看起来 [] 输出应该都是实数，
所以这一题把 over R 摘掉，就对了吗？
那 30 题跟 29 题一样，明明系数最後都有可能是复数，那为何都要先强调 over R 呢？
有专业的大大可以解惑吗？小弟我非常不解...
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1F：推 Ben40 : 感觉29题是要让你从实数扩充到虚数 07/29 02:28
2F：→ yhliu : [a,b] 似乎是把 a,b in C^n 看成 a,b in R^(2n). 07/29 07:37
3F：→ alan23273850: 我有想过扩充这件事，但是其实这是 nonsense, 因为 07/29 07:49
4F：→ alan23273850: 函数 f 要扩充成 g 如果没有额外的条件，那扩充的 07/29 07:49
5F：→ alan23273850: 部分就没有应该规范，不唯一。 07/29 07:49
6F：→ alan23273850: C^n 和 R^(2n) 又有何差异呢？ 07/29 07:50
7F：→ alan23273850: 而且乘以 C 和乘以 R 都要在里面，那麽规则要怎麽 07/29 08:52
8F：→ alan23273850: 律定呢？ 07/29 08:52
结果经过一晚的沉淀之後我好像想通了，不能因为出现 ix 就说它是 over C, 因为 ix
仍然是 V 里面的一个向量。所以真正要判定 inner product 是 over R 还是 over C, 是
看那四条规则的经过系数变化之後有没有维持满足，更精确地来说，只要看课本定义的第
(b) 条 <cx,y> = c<x,y> 在 c \in R or C 有没有满足即可！
穴穴各位板友提供的 idea, 我决定奉送大家 100P！
※ 编辑: alan23273850 (140.109.16.166 台湾), 07/29/2022 13:05:07