作者alan23273850 (God of Computer Science)
看板Math
标题关於线性转换的特徵多项式与基底无关的证明
时间Mon Jul 4 19:00:12 2022
如题，小弟刚读完第五章第一节，已经知道它的标准证明，是利用相似矩阵的行列式不变的
事实。
但老实说，我初见此事实，第一眼想到的作法是利用线性转换的特徵值固定，再搭配特徵值
必为特徵多项式的根的事实去证，但老实说这个方法只有在特徵值皆相异而且数量要跟维度
一样的时候才适用。我想主要的问题便在於如何把这个方法推广到重复特徵值或者是数量小
於维度的时候，请问各位板上大大有任何的想法吗？穴穴大家。
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1F：→ chang1248w : T(A)有f(A) = 0 07/04 19:09
2F：→ chang1248w : 对於一个可逆的基底变换gp(x)=P^-1xP恒有 07/04 19:09
3F：→ chang1248w : gp(f(A)) = f(gp(A)) 07/04 19:09
4F：→ chang1248w : 细节类似P^-1A^nP =(P^-1AP)^n 07/04 19:10
5F：→ chang1248w : 呃....我f和T没处理好 07/04 19:12
6F：→ alan23273850: 希望能针对任意线性转换 07/04 19:43
7F：推 Vulpix : 不要只用特徵值固定，要用特徵空间固定。 07/04 20:59
8F：→ alan23273850: 我知道特徵空间，但是那边的推导确定不会用到这边的 07/04 23:17
9F：→ alan23273850: 结论？ 07/04 23:17
10F：推 arrenwu : 你这边特徵方程式的定义是甚麽？我总觉得你就是要先 07/05 05:53
11F：→ arrenwu : 能证明在任意基底下会有同样运算结果才能定义线性 07/05 05:54
12F：→ arrenwu : 变换的特徵方程式？ 07/05 05:54
13F：推 Vulpix : 他大概想要的是先定义一种basis-dependent的特徵方 07/05 07:18
14F：→ Vulpix : 程式吧。 07/05 07:18
15F：→ alan23273850: 先知道固定 T 对每个 basis 都有一个特徵多项式，再 07/05 09:47
16F：→ alan23273850: 因为 T 的特徵值 (多项式的根) 固定，故多项式也要 07/05 09:47
17F：→ alan23273850: 固定才可以。然後以上论述只对相异特徵值，数量等於 07/05 09:48
18F：→ alan23273850: 维度的时候才适用。 07/05 09:48
19F：推 arrenwu : 要得到你想要的结论，你得要找出特徵方程式有重根 07/05 10:42
20F：→ arrenwu : 会怎麽反应在 T 的特徵值表现上 07/05 10:43
21F：→ chang1248w : 干嘛那麽麻烦... 07/05 13:37
22F：→ chang1248w : det(T-xI)=det(A^-1(T-xI)A)=det(A^-1TA -xI) 07/05 13:40
23F：→ chang1248w : 或者由基底变化前後会是similar的，也可以得到 07/05 13:41
24F：推 arrenwu : 他文章一开始就说了啊 想用相似矩阵的行列式值不变 07/05 14:19
25F：→ arrenwu : 以外的做法咩XD 07/05 14:19
26F：推 Vulpix : 我名词好像用错了，是invariant subspace。 07/05 16:10
27F：→ chang1248w : ... 07/05 20:49
28F：→ alan23273850: Vulpix 大的方法等我熟悉完 Sec 5.4 之後再回来看， 07/06 09:58
29F：→ alan23273850: 也谢谢其他位大大的协助罗～ 07/06 09:58
30F：推 Vulpix : 更精确的名词是 generalized eigenspace。 07/06 10:22