※ 引述《Yic0197 (科科科55)》之铭言： : (代po) : 大家好 : 想询问附图如何推得红字部分 : 即变异数与平均在常态母体分布关系 : 有听到老师说上面可以变到下面这行 : 是因为函数独立可进行函数转换 : 但我不太懂函数转换是什麽？ : 感谢 : https://i.imgur.com/T2xJtTu.jpg 若 U. V, W 等随机变数相互独立, f, g, h 等为任意函数使 f(U), g(V), h(W) 等仍为随机变数, 则 f(U), g(V), h(W) 等随机变数也相互独立. 今依 Cochran 定理, (n-1)S^2/sigma^2 与 (Xbar-mu)^2/sigma^2 是相互独立的卡方变量, S^2 = ((n-1)S^2/sigma^2)*sigma^2/(n-1) |Xbar-mu| = ((Xbar-mu)^2/sigma^2)*sigma^2 各是两卡方变量的函数, 所以两随机变数独立. 但 Xbar-mu 的分布是对称(於0)的, 所以 S^2 也与 Xbar-mu 相互独立. 但 Xbar = (Xbar-mu)+mu, 所以 Xbar 又与 S^2 相互独立. 这是用 Cochran 定理来推证 S^2 与 Xbar 相互独立; 事实上 也常会用其他方法来推证 (n-1)S^2/sigma^2 与 (Xbar-mu)^2/sigma^2 相互独立进而导出 t 变量的分布. 有两种方法常用的, 一是 在学过完备充分统计量後有一个定理可用来简单推知 S^2 与 Xbar 相互独立; 另一是直接证明离差 X1-Xbar, X2-Xbar,...,Xn-Xbar 联合与 Xbar 独立, 可以用动差母函数 (m.g.f.) 或特性函数 (ch.f.) 证明. 联合独立的观念: (X,Y,Z) 与 (U,V) 联合独立是指由 X,Y,Z 所决定的事件都与由 (U,V) 所决定的事件独立, 即 P[(X,Y,Z) in A, (U,V) in B] = P[P[(X,Y,Z) in A] P[(U,V) in B] 以 m.g.f. 来说, E[e^(rX+sY+tZ+pU+qV)] = E[e^(rX+sY+tZ)] E[e^(pU+qV)] --

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