作者arrenwu (不是绵芽的错)
看板Math
标题Re: [其他] 质数多or完全平方数多
时间Fri Jul 1 12:50:12 2022
※ 引述《buffalobill (水牛比尔)》之铭言：
: 1到10000里
: 完全平方数的数量有100个(1^2, 2^2, 3^2... 100^2)
: 质数的数量有1229个
: 1到1000000里
: 完全平方数的数量有1000个(1^2, 2^2, 3^2... 1000^2)
: 质数的数量有78498个
: 看起来质数的数量远远大於完全平方数的数量
: 但我好奇会不会到某个很大很大的数字之後
: 质数的数量就比完全平方数还少？
: 还是有什麽办法证明质数的数量会一直大於下去
引用 Prime Number Theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem#Statement
令 P(x) 为不大於x的质数数量
则 lim P(x)*ln(x)/x = 1
x->∞
令 S(x) 为 不大於x 的平方数数量
0 <= S(x)/P(x) <= √(x)/P(x) = √(x)/x*ln(x) * [x/P(x)/ln(x)]
lim √(x)/x*ln(x) = 0
x->∞
lim x/P(x)/ln(x) = 1
x->∞
所以 lim S(x)/P(x) = 0
x->∞
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原出处：
https://twitter.com/Hairi_1617/status/1521780942221631489
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 98.45.195.96 (美国)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1656651015.A.6FE.html
1F：→ WINDHEAD : 他问的是会不会一直大下去, 你这个只证明长期会大 07/01 12:51
2F：→ WINDHEAD : 并没有排除他在某个数字会逆转(之後又逆转回去) 07/01 12:53
如若我能证明 lim S(x)/P(x) = 0
x->0
那选定 ε= 0.9 ，必然存在一个 M 使得 所有 x > M 都有 S(x) < P(x)*ε < P(x)
这样就没有某个数字後逆转的问题了吧？
3F：→ WINDHEAD : 我是说逆转又逆转回去的情况 07/01 13:22
原po想问的是"某个很大很大的数字之後"的表现
我这里证明的是 某个很大很大的数字之後，平方数都会比质数少
※ 编辑: arrenwu (98.45.195.96 美国), 07/01/2022 13:55:11