[问］ 统计问题 假设抽样来自常态分布 1.如果已知母标准差，则样本平均的分布亦为N(u, sig/sqrt(n))，则可用 (x bar - u ) / (sig/sqrt(n))方式计算区间 2.如果不知道母标准差，则 上述的标准差用无偏估计s/sqrt(n-1)取代sig/sqrt(n) 但取代後(x bar - u ) / (s/sqrt(n-1））已不为常态分布（而是t分布）， 就有人去研究t分布长相，所以根据此分布计算区间 我想问的是，既然是因为有研究才知道t分布，而可以解决此类估计问题， 那当初可否不用无偏标准差，而直接采用 (x bar - u ) / (s/sqrt(n))， 然後取名xx分布，再去研究xx分布，一样可以透过样本平均跟样本标准差 去估计母平均呢？ [回］ 当常态群体仅平均数未知时，Xbar - mu 的分布和未知参数无关，也就是 说可以得到其分布，其分位数，因而可以取一区间 [a,b] 具有预定机率， 从中导得 mu 的信赖区间。当然以 Xbar 之标准差 sigma/sqrt(n) 去除， 而得 Z 变量，结果具标准化常态分布，得类似的区间，从而亦得出 mu 的 某一水准的信赖临间。 当常态群体有平均数 mu, 标准差 sigma 两参数未知时，Xbar - mu 之分 布仍依赖 sigma，所以需再以一个分布和 sigma 有关的统计量调整，於是 取代 Z 的 t 变量 (用样本标准差代替 Z 定义式中的群体标准差是自然的 考虑，而统计学者发现 t 变量的分布与未知参数 mu, sigma 皆无关，并 命名此分布为 t 分布。同样可以计算其各分位数，因此可以得预定机率的 一个区间，并得到 mu 的某一水准的信赖区间。 如果 s 是所谓样本标准差 s = sqrt(sum(Xi-Xbar)^2/(n-1)), 则 t 变量 是 t = sqrt(n)(Xbar-mu)/s, 如果 s 计算式中分母用 n, t 变量才是 t = sqrt(n-1)(Xbar-mu)/s. 是否一定要用 t = sqrt(n)(Xbar-mu)/s？ 用其他指标可以不可以？例如 用样本全距或四分位距代替 s？我想应该可以，例如全距 　R = X(n)-X(1) = [(X(n)-mu)/sigma - (X(1)-mu)/sigma]*sigma 上式表示 R/sigma 的分布会和 mu, sigma 均无关，所以 T = sqrt(n)(Xbar-mu)/R 的分布也将会与 mu, sigma 无关，因此其分布可以确定。 那麽，为什麽用 t 而不用上述 T？原因之一是 t 的分布已经被得到；原 因之二是：基於统计假说检定问题 H0: mu = mu0 against H1: mu != mu0 从最强力检定的观点，可以导出 t 检定是 "一致最强力不偏检定"，也就 是说在所有不偏检定中，基於 t 之检定具有一致最强的检定力。而 mu 之 信赖区间和一系列的 mu=mu0 vs. mu!=mu0 的检定问题可以说是相当的， 因此基於 t 变量的信赖区间也具有某种最佳性因此，就不必再考虑其他种 信赖区间了。当然，这只是在样本随机抽自常态群体时是这样，如果群体 不确定是常态，或确定不是常态，那就需考虑其他信赖区间了。 --

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