想请问一下, 以前学复变时对Pole p的定义跟wiki一致, 都是函数在p的邻域都要可微, 然後要满足lim_{z→p} blabla 但是今天在Z转换(等同Laurent series, 只差w=1/z)的叙述逻辑中很怪, 详细如下: 令f(z) := z/(z-1), z!=1 u_n := 1, n>=0 0, n<0 g(z) := Σ_{n=-∞~∞} u_n*z^(-n), |z|>1 也就是说: (1) g是u的Z转换 (2) f(z) = g(z) for all |z|>1 (3) f(z)是g(z)的解析延拓 接着问题在於, 今天说z=1是f的Pole, 完全OK 但是在讯号处理的Transfer function中, 很常这样说: --------------------------------------------------------------- 令y_n := (u＊x)_n, 其中＊是摺积 考虑转移函数 H(z) := Y(z)/X(z), Y跟X分别是y跟x的Z转换 可以轻松得到H(z)就是u的Z转换, 就是g(z) 之後化简算一算後得到g(z) = 1/(1-1/z) , for all |z|>1 我们发现g在1有Pole --------------------------------------------------------------- 但就是因为g不能在z=1讨论Pole(不存在1外的可微邻域)才让我觉得很怪... 目前我处理方式是基於解析延拓的唯一性去推广Pole的定义: We say p is a pole of f if (1) the domain of the analytic continuation of f, say F, covers U\{p}, where U is an open set containing p (2) p is a pole of F in the traditional definition --------------------------------------------------------- 我想会有这差别是因为以前在学复变时, 起源都是某个可微的f 然後把f转成Laurent series, 所以形容Pole的对象都是f 但是在讯号处理中常常起源是某个数列u, 之後做Z转换得g後 可以把g化简成某个更大定义域的可微函数f 猜测是因为不会混淆(严格来说是因为解析延拓唯一)而变成说g跟f根本没差? 也就是说, 只要叙述上讨论到z转换g(z)的Pole p, 他的前提就自然假设了g的解析延拓包含p的邻域吗? 谢谢回答~ --

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