先大致说明一下问题, 之後再提供这些问题的定义: 很常听到差分方程 = IIR(无穷脉冲响应), 而且也是LTI系统(线性非时变系统) 但是我照定义走一次後发现差分方程定义的系统并非LTI 我猜测要马是: (1) 我差分方程定义系统的定义问题 要马就是: (2) 差分方程真的不是LTI系统 -------------------------------------------------------------- 【符号】 F := R or C, 实数域或是复数域 Z := 整数域 N := 正整数域 S := {x:Z→F}, 所有对应域为F的数列所成的集合 L := S → S, 把数列打到数列的函数, 讯号处理称之为系统 * := 乘法 【定义LTI】 We say L:S→S is a LTI system if (1) for any x, X€S and a,b€F, we have L{a*x+b*X}_n = a*L{x}_n + b*L{X}_n for any n€Z (2) for any x€S, and K€Z, defining X_n := x_(n-K) for any n€Z we have L{X}_n = L{x}_(n-K) for any n€Z <Note> (a) 我们称(1)为线性, (2)为非时变 (b) (2)的K有资料写K€N, 但是"LTI等价於摺机"的推导是需要K€Z的 所以我还是采用K€Z的定义比较完善 【由差分方程定义系统】 Given a_i, b_j€F, i = 1~A, j=0~B-1, n_0€Z, a_A != 0, b_(B-1) != 0 we define D:S→S by D{x}_n := y_n as follows: For any x€S, y_n := 0 , n<n_0 Σ_{i=1~A} a_i*y_(n-i) + Σ_{i=0~B-1} b_i*x_(n-i), n>=n_0 <Note> (a) {y_n,n<n_0}为初始值, 直接定义成0是因为若有非0初始值就可以推导出D非线性 所以我直接定义成0 (b) D并不会满足"非时变", 直接用y_n = y_(n-1) + x_n, x_n := n, n_0 := 1 就可以得到反例 【问题分析】 从数学角度来看差分方程求解确实要给初始值, 但是从工程角度我最初不怎麽在乎初始值 就没check差分方程是否会满足LTI 结果因为今天要证明他是LTI, 就必须严格定义出差分方程为一个系统 也就是说, 要明确给定固定的n_0与初始值{y_n│n<n_0}才能将差分方程定义为系统 但也就是这个操作, 让D失去了非时变性 因为图形上要让D有非时变性就要让n_0可以随着输入而变动 但是如果真的这麽做, D就不是well-defined函数 【答案猜测】 (1) 以上定义没错, 而且差分方程不是LTI系统 (如果是这样的话, 对整个讯号处理的理论应该影响不小吧?) (2) 以上定义要修正, but how? -------------------------------- 再请板友帮忙, 谢谢~ <Update> 在搜寻相关的问题後发现症结点, 举例如下:(|a|<1) 令脉冲响应 h_n = 0 , n<0 a^n, n>=0 则 L{x} := x＊h 为一LTI系统, 且为IIR类型(因为h没有support), ＊为摺积 接着写开 y_n := (x＊h)_n = Σ_{k=0~∞} h_k*x_(n-k) = Σ_{k=0~∞} a^k*x_(n-k) --(●) 然後发现 y_n = a*y_(n-1) + x_n --(◎) 这里就可以发现到, 任给数列x_n, (●)就有唯一定义的y_n 但是(◎)却要给初始值才有well-defined的y_n 以x_n恒等於1为例, 在(●)的y_n化简出来是y_n = 1/(1-a) 但是在(◎)却是要给初始值y_init = 1/(1-a)才能得到相同结果 你如果给其他初始值就会产生其他解 因此IIR跟差分方程本来就有落差 最後答案就是: (1) IIR当然是LTI (2) 【由差分方程定义系统】中的D并非是LTI (3) IIR的输出可以写成一个差分方程, 并且给适当的初始值(与IIR跟输入都有关)後 解与IIR的解一致 (4) 差分方程可以藉由极限忽略法定义出一个IIR (以上面y_n = a*y_(n-1) + x_n为例 = a^K*y_(n-K) + Σ_{k=0~K} a^k*x_(n-k) 接着把K取∞後, 忽略y_(-∞), 我们得到y_n = Σ_{k=0~∞} a^k*x_(n-k) 此式为一个其中h_k := a^k, 为一个IIR) 完整解释应该就是这样吧? --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.102.225.191 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1653327556.A.E79.html 嗨r大, IIR本身没有初始值的问题, 因为照定义IIR就只是h没有支撑而已, 定义式还是y_n = (x＊h)_n 可是差分方程就有初始值问题, 才会有这篇"差分方程好像不是LTI" 不过不考虑细节的话, 就有一种"差分方程 = IIR, 都是LTI"的感觉... ※ 编辑: znmkhxrw (114.44.232.28 台湾), 05/26/2022 19:53:03