作者Lanjaja ()
看板Math
标题[代数] 如何得到正确的解集
时间Thu May 19 02:27:37 2022
各位先进好，我想请教一对联立代数问题。
a, b, c, d四个实数满足下方二道等式
ac = bd (1)
ad = -bc (2)
求解a, b, c, d
答案应该是{a=b=0} 或 {c=d=0}，
但是我一直得不到想要的结果。
以下是我的过程：
设ac=bd != 0 => abcd != 0
=> c/d = -d/c => c=d=0矛盾
所以ac = bd = 0
不失一般性下设a=0
(1)：b=0或d=0
(2)：b=0或c=0
两解集合取交集得{a=b=0} 或 {a=c=d=0}
问题卡在{a=c=d=0}要怎麽变成{c=d=0}？
一般不是都可以在不失一般性下设其中一个变数为0，
为何这时得不到最後的答案呢？
请各位先进帮忙告诉我错在哪里，要怎麽补救这个证明呢？
感谢回答～
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1F：推 Vulpix : 因为假设a=0就失去一般性了。 05/19 02:56
2F：→ chang1248w : 从线代和det下手吧？ 05/19 03:45
3F：推 LPH66 : 「不失一般性」是要其他状态也能化归你的假设 05/19 07:53
4F：→ LPH66 : 但你这麽一来把 c=0 也变成 a=0 了, 自然找不到原本 05/19 07:54
5F：→ LPH66 : 应该是 c=d=0 的解 (被「不失一般性」变成a=b=0了) 05/19 07:55
6F：→ Lanjaja : 谢谢以上三位的回答。想请问一下LPH大为何和c=0有关 05/20 03:36
7F：→ Lanjaja : 能不能再说明得清楚，谢谢 05/20 03:37
8F：推 LPH66 : ac=0 要分状况为 a=0 或 c=0, 如果你把它统合成 a=0 05/20 04:04
9F：→ LPH66 : 就表示你此时把变数 a 和 c 的名字交换 05/20 04:04
10F：→ LPH66 : 但这麽一来要满足 (2) 式你还得把 b 和 d 也交换 05/20 04:05
11F：→ LPH66 : 因此这表示你把 c=d=0 的解经由这个程序变成 a=b=0 05/20 04:05
12F：→ LPH66 : Vulpix 说你「失去一般性」的意思就是, 进行上述的 05/20 05:24
13F：→ LPH66 : 「a,c 交换且 b,d 交换」的操作後, 把一些原有的解 05/20 05:24
14F：→ LPH66 : 变成别的样子了以致於後来解完後无法还原 05/20 05:25
15F：→ LPH66 : 例如上面那一篇「不失一般性假设a≧b≧c」 05/20 05:27
16F：→ LPH66 : 讨论完後如果要还原 (a,b,c) 的解必须加一句 05/20 05:27
17F：→ LPH66 : 「某某解及其排列」, 这就是在还原这「不失一般性」 05/20 05:27
18F：→ LPH66 : 的假设; 只是那题要求的是三数乘积所以可以不管而已 05/20 05:28
19F：→ LPH66 : 但你这里是要讨论解, 那就要还原你在这假设时做的 05/20 05:28
20F：→ LPH66 : 变动, 才能够得回原题要的所有答案 05/20 05:28
21F：→ Lanjaja : 谢谢LPH大，如果我想还原「不失一般性下」的变动， 05/20 18:55
22F：→ Lanjaja : 就只能变成再讨论a!=0的情况，这就又回到穷举法了？ 05/20 18:56
23F：→ Lanjaja : 只是因为这题a!=0就是c=0，最後解的联集会有点麻烦 05/20 18:57
24F：→ Lanjaja : 不那麽直观可以看出。还是我有误会什麽？有更直接方 05/20 18:57
25F：→ Lanjaja : 便的还原方法吗？ 05/20 18:58
26F：→ Vulpix : 更方便的还原方式就是「对称」，c=0写一遍，b=0一遍 05/20 22:53
27F：推 Vulpix : ，d=0也一遍。这三遍其实跟a的情况写起来没两样，像 05/20 22:56
28F：→ Vulpix : c=0的那次其实是把(a,b)和(c,d)对调。 05/20 22:56
29F：→ Vulpix : 最後把这四个解集合联集起来就好。 05/20 22:57
30F：→ Vulpix : 因为写起来没两样，所以可以用WLOG省略掉。 05/20 22:58
31F：→ Vulpix : 你想要WLOG，就要知道自己是怎麽才能没有失去一般性 05/20 22:58
32F：→ Vulpix : 没仔细看前面的推文，跟LPH大写的意思一样。 05/20 23:07
33F：→ Lanjaja : 谢谢V大，把各种情况用联集连结，我就怕我化简不到 05/22 04:34
34F：→ Lanjaja : 最後最乾净的结果 05/22 04:35
35F：推 Vulpix : 不用担心，这题的化简是最简单的真子集和重复集合。 05/24 12:36