想请问下列递回方程式是否有解的分类与规律: ------------------------------------------------------------- 令 x_n为一实数列, n>=0 y_(-1), y_(-2),..., y_(-N) 为N个初始值 a_1, a_2,..., a_N 为N个实数, a_N != 0 定义递回关系式 y_n = (Σ_{k=1~N} a_k*y_(n-k) ) + x_n, n>=0 想请问有没有关於 怎样的a_k与x_n的条件 会导致 y_n有怎样的行为, 特别是n→∞时的行为 或是条件更强一点, 加入" x_n = 0 for n>=M, some M " 会有更好的结果吗? (我是做实验时发现n很大时感觉y_n会趋近周期函数, 不知道是特例还是怎样) ------------------------------------------------------------- 因为是工作上遇到的, 对於推导不太要求, 想知道有没有确定的分类 目前尝试写成矩阵的方式, 可是得不到什麽定性的结论: (A^t代表A的transpose, "*"只是乘法而已) 令 Y_n:=[y_n, y_(n-1),..., y_(n-N+1)]^t X_n:=[x_n, 0, ..., 0]^t [a_1, a_2, ..., a_(N-1), a_N] [ 1 , 0 , ..., 0 , 0 ] A :=[ 0 , 1 , ..., 0 , 0 ] [ ..........................] [ 0 , 0 , ..., 1, , 0 ] 则 Y_n = A*Y_(n-1) + X_n, n>=0 一直拆下去可以得到, Y_n = Σ_{k=0~n} A^(n-k)*X_k 之後把A对角化(只要a_N != 0都可以对角化)得到 A = P*D*P^(-1), P可逆 代回去得到 Y_n = P*(Σ_{k=0~n} D^(n-k)*P^(-1)*X_k), n>=0 我就卡在这了, 即便讨论一些eigenvalue的值也得不出什麽结果 (把P过来Y_n这边後又导致了y_n被污染了, 拿不到y_n) 或是加入更强条件" x_n = 0 for n>=M, some M ", 我们得到了: Y_n = P*(Σ_{k=0~M} D^(n-k)*P^(-1)*X_k), n>=M 此时summation只有到M, 所以只要所有eigenvalue的绝对值都<1, 那Y_n就收敛到0 但是这个case是trivial的 可是如果只有某些eigenvalue的绝对值<1, 我又得不到什麽结果 最後回想到硕班ODE的一阶线性微分方程也是写成类似的形式 然後就能藉由eigenvalue去分类解会: (1) 发散到无穷 / 收敛到一点 / 在某个有界区域回绕 (2) 轨迹是椭圆 / 轨迹是值线 所以觉得原题目(ODE的离散化?)应该也会有相应的结果吧@@? 只是好几年没碰这些了, 只剩些印象... 再请板友们帮忙, 谢谢~ ----------------------------------------------------------------- <Update> 线代启示录网站有写关於x_n = q_n * s^n, q_n是多项式的情形 因此general的x_n应该不可能归类了 只是我工作遇到的x_n有compact support, 应该还是有机会(? --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 1.164.101.117 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1651132986.A.52A.html 嗨L大, 我刚刚边骑机车边想时突然发现改变一下初始值就变成原本的case了XDDD 耍笨了 如果x_n=0 for all n>=M, 那考虑y_n, n>=M就像你说的是其次线性了@@ 另外请问一下齐次线性的解有什麽分类讨论吗? 就像我文中说的ODE会讨论解的有界/无界, 收敛/发散...这些行为 比如 y_n = a_1*y_(n-1) + a_2*y_(n-2) + a_3*y_(n-3) 我是想知道有没有可能存在a_1,a_2,a_3跟初始值y_0, y_1,y_2 使得当n→∞时, y_n趋近於周期数列(即来回震荡), 但是又不要y_n = (-1)^n这种极端的 比如y_n = -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 1/2, 0, -1/2, -1.... 目前证出: 当只有a_1,a_2两个系数时, 不可能 (2x2矩阵的对角矩阵很容易得证) 而且一直造例子发现如果y_n震荡都会是(-1)^n这种一上一下, 不会有中间态的情形... 谢谢回答~ ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 04/28/2022 21:11:17 喔喔喔!!! 想起来了, 难怪我一直用实根做实验都不会有中间态的震荡 谢谢~~~ ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 04/28/2022 23:33:24 ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 04/28/2022 23:33:44 大学没修离散数学, 所以对生成函数这些名词以及递回方程做法仅有个大概方向 谢谢回覆~ ※ 编辑: znmkhxrw (114.137.102.213 台湾), 05/01/2022 16:18:03