作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[分析] 幂级数在收敛半径"上"绝对收敛
时间Fri Apr 1 22:29:47 2022
想请问一下有没有满足(1)&(2)条件的a_n€C, set of complex numbers
(1) limsup_{n→∞} |a_n|^(1/n) > 0
R:= 1 / limsup_{n→∞} |a_n|^(1/n)
(2) Σ_{n=0~∞}|a_n*(z_0)^n| conv. at some z_0 with |z_0| = R
或是满足(1)&(3)的a_n€C
(3) Σ_{n=0~∞} a_n*z^n conv. at all z with |z| = R
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会问这个问题的想法如下:
我们都知道幂级数在R外发散, R内绝对收敛,
R上不一定
而在实数时就有很多例子都发现 z = R 与 z = -R 不可能都收敛
所以我才想直接讨论复数这个更general的case
回到原问题, 容易知道若(2)成立, 就会得到在
R上全部都绝对收敛, 因此(3)就成立
因此, 如果存在(1)&(2)的例子, 那自然就是一种(1)&(3)的例子
只是我直觉觉得(1)&(3)还有机会
但是(1)&(2)感觉太强了...等於在整个|z|<=R这个closed disk都绝对收敛
再请提供例子 或是
不可能的叙述
比如: (a) Σ_{n=0~∞} a_n*z^n 在 {|z| = R} 上至少有一点不收敛
(b) Σ_{n=0~∞} |a_n*z^n| 在 {|z| = R} 上至少有一点发散到无穷大
...
谢谢帮忙~
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1F：推 cmrafsts : R=1, a_{k^2}=2^{-k}, a_n=0 if n is not a square04/01 23:21
2F：→ znmkhxrw : 谢谢 c大, 我睡觉时也突然发现例子一堆 a_n = 1/n^p04/02 01:36
3F：→ znmkhxrw : , for any p>1 都是符合(1), (2)的例子 04/02 01:36
※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 04/02/2022 01:36:51