※ 引述《arrenwu (不是绵芽的错)》之铭言： : ※ 引述《ypeng0308 (aguang)》之铭言： : : 想请问3.8.11 : : https://imgur.com/BgYWYKZ : : https://imgur.com/1NYCCnY : : 第8题 我把原来的函数换成cos的样子然後相乘 : : 最後整理成 sigma(1->Infinity) (1/(2n-1)^2)*exp(i*theta)^n : : 然後就不知道怎麽做了 : : 3和11则是一开始就没想法了 : 但我总觉得复变函数论那边应该有什麽有用的结论可以简化这个过程。 : 这过程会那麽麻烦是因为我把 cos 和 sin 分开处理 : 如果换个方向，我定义一个函数 : n : Ln(x) = Σ e^(jkx)/(2k-1) : k=1 : 那题目问的其实就是 lim Im( Ln(x) ) : 而 Ln 我们可以很容易地写出 : n : -2j Ln'(x) - Ln(x) = Σ e^(jkx) : k =1 : = e^(jx)(1-e^(jnx))/(1-e^(jx)) : 这样就变成一个一阶线性微分方程 解这个方程不简单啊。 虽然在误会「n→∞ 导致 e^(jnx)→0」之後，会变得美丽。 总之以下先换回原文的记号。 f(θ) = sinθ + (sin2θ)/3 + (sin3θ)/5 + ... 收敛，根据 Dirichlet's test。 因为 Σsin(kθ) 的部份和有界而且 1,1/3,1/5,... 递减到 0。 然後凑实部给他。 定义 g(θ) = cosθ+(cos2θ)/3+(cos3θ)/5+... + i*f(θ) = exp(iθ) + exp(2iθ)/3 + exp(3iθ)/5 + ... 这时候令 z = exp(iθ/2) 会很方便， 所以 g(θ) = z^2 + z^4/3 + z^6/5 + ... = z * ( z + z^3/3 + z^5/5 + ... ) = z * ln((1+z)/(1-z)) / 2 但是最後那个等号有点问题。 事实上，z + z^3/3 + z^5/5 + ... 并没有处处收敛。 我们也可以知道他在单位圆上几乎处处收敛，除了在 z = ±1 是发散的。 要验证也一样可以用 Dirichlet's test。 题目的 θ 只有 0 ~ π，所以 z = 1 不在范围内，可以安心使用。 所以我们要算的 f(θ) 就是 Im[g(θ)]，完结……不了。 即使知道 z + z^3/3 + z^5/5 + ... 收敛， 但我们仍然没有说明他与 ln((1+z)/(1-z)) / 2 相等。 这里用到的就是 Abel's Theorem。 r 是个比 1 小的正数，考虑 rz + (rz)^3/3 + (rz)^5/5 + ... 这个级数。 rz + (rz)^3/3 + (rz)^5/5 + ... = ln((1+rz)/(1-rz)) / 2 这个和应该是很普通的(复变数)微积分习题， 流程跟实变数微积分习题一样，对 rz 微分，计算等比级数，再积分。 最後靠 Abel's Theorem 把 r→1^-： 级数确定收敛，所以 ln((1+rz)/(1-rz)) / 2 的极限就是那个级数， 也就是说 z + z^3/3 + z^5/5 + ... = ln((1+z)/(1-z)) / 2。 而「补 r」也可以看成是把 θ 变形成 θ+2iε。 此时 z 变形成 exp(iθ/2-ε) = e^-ε * exp(iθ/2)， 前面那个 e^-ε 跟 r 的用途相同。 接下来的工作就剩下复数计算了。 f(θ) = Im[ z*ln((1+z)/(1-z)) ]/2 = Im[exp(iθ/2)*ln((1+cos(θ/2)+isin(θ/2))/(1-cos(θ/2)-isin(θ/2)))]/2 = Im[(cos(θ/2)+i*sin(θ/2))*ln(i*cot(θ/4))]/2 = Im[ (cos(θ/2)+i*sin(θ/2)) * (ln(cot(θ/4))+iπ/2) ]/2 = π/4 * cos(θ/2) + 1/2 * sin(θ/2) * ln(cot(θ/4)) 把 ln(i*cot(θ/4)) 的虚部定出来是这段计算的核心，而这与前面提到的积分有关。 i*cot(θ/4) 甚至可以用画图的方式看出来， 所以即使忘掉了三角函数琳琅满目的各种公式也没关系。 这题虽然用到的东西很多，但都是很标准的流程，所以课本上都多少有点到。 凑实部可以参考 2-25。 2-26 则是偷偷在用 Abel's Theorem。 至於收歛性，这本的调性就是 leave it to mathematicians， 也是因为这样，所以他的 reference 都是在说「某本书这个写得很好」。 作者就是要读者自己再去找书看。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 163.13.112.58 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1646765878.A.A54.html 你是在说那个长得像 IBP 的 ASF？ IBP 只有积分、ASF 混积分和分、Abel 还有一个纯和分的 SBP。 应该不是这个吧…… ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 03/09/2022 03:52:15 其实也只是为了匹配指数与分母，所以要把指数的公差调成 2。 然後凑实部的确不难想，不管是数学还是物理的角度， 在很多实数问题上引入虚数，都是为了使用那个简单的乘除计算。 其中一个很具体的例子是交流电路， 电容电感都变成了虚数阻抗的「电阻」，电流电压也多出了虚部。 ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 03/09/2022 15:42:47 这个问题是出在我们心中的级数库不够大。 够大的话，积分都可以略过了。 ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 03/09/2022 17:57:09