作者arrenwu (不是绵芽的错)
看板Math
标题Re: 几题级数求和
时间Tue Mar 8 10:47:13 2022
※ 引述《ypeng0308 (aguang)》之铭言：
: 想请问3.8.11
: https://imgur.com/BgYWYKZ
: https://imgur.com/1NYCCnY
: 第8题 我把原来的函数换成cos的样子然後相乘
: 最後整理成 sigma(1->Infinity) (1/(2n-1)^2)*exp(i*theta)^n
: 然後就不知道怎麽做了
: 3和11则是一开始就没想法了
我去看了一下 Mathematical Methods Of Physics (2nd Edition)
by Mathews, Jon; Walker, Robert L 1971
第二章那内容太少了吧？ 感觉也没教多少泛用的处理手法
第8题我没有想到太好的做法，想来请教一下有没有什麽巧思之类的
我先说明我的作法。
定义
n
Fn(x) = Σ sin(kx)/(2k-1) for x in (0,π).
k=1
目标是求出 lim Fn(x) for each x in (0,π)
n→∞
因为我只会算像 Σsin(kθ)/k 这种级数，所以为了生出 1/(2k-1)这种系数，
我定义 Gn:
n
Gn(x) = Σ sin((2k-1)x)/(2k-1) for x in (0,π)
k=1
n
Gn'(x) = Σ cos((2k-1)x) = sin(2nx)/(2sin(x))
k=1
那麽，但我们想要的是 Fn，那 Fn 跟 Gn 有啥关系呢？
n
Gn(x/2) =Σ sin((2k-1)x/2)/(2k-1)
k=1
n
= Σ sin(kx-x/2)/(2k-1)
k=1
n n
= cos(x/2)Σ sin(kx)/(2k-1) - sin(x/2)Σ cos(kx)/(2k-1)
k=1 k=1
n
= cos(x/2) Fn(x) - sin(x/2) Σ cos(kx)/(2k-1)
k=1
为了处理那个 Σ cos(kx)/(2k-1) ，我只好弄出个 Hn:
n
Hn(x) = Σ cos((2k-1)x)/(2k-1) for x in (0,π)
k=1
n
Hn'(x) =-Σ sin((2k-1)x) = (cos(2nx)-1)/(2sin(x))
k=1
n
Hn(x/2) =Σ cos((2k-1)x/2)/(2k-1)
k=1
n
= sin(x/2) Fn(x) - cos(x/2)Σ cos(kx)/(2k-1)
k=1
蓝色*cos(x/2)和
绿色*sin(x/2)可以得到
Gn(x/2)cos(x/2) = cos(x/2)^2 Fn(x) + sin(x/2)cos(x/2)Σ cos(kx)/(2k-1)
Hn(x/2)sin(x/2) = sin(x/2)^2 Fn(x) - sin(x/2)cos(x/2)Σ cos(kx)/(2k-1)
上下相加可以得到
Fn(x) = Gn(x/2)cos(x/2) + Hn(x/2)sin(x/2)
目标是 lim Fn(x)，所以要分析 lim Gn(x/2) 和 lim Hn(x/2)
先处理 Gn，为了等一下方便把
黄字里面的 x 换成t。
n
Gn'(t) = Σ cos((2k-1)t) = sin(2nt)/(2sin(t))
k=1
对两边进行对 t 的从 x 到 π/2 的定积分：
π/2
Gn(π/2) - Gn(x) = ∫sin(2nt)/(2sin(t))dt
x
(integrate by part) π/2
= -cos(nπ)/(4n) + cos(2nx)/(4nsin(x)) + (1/8n)∫cos(t)cos(2nt)/sin(t)^2dt
x
两边对n取极限，可得到：
lim Gn(π/2) - lim Gn(x) = 0
所以对任何 x， lim Gn(x) = lim Gn(π/2) = 1-1/3+1/5-1/7 + - + - ... = π/4
故
lim Gn(x/2) = π/4
剩下的是 lim Hn(x/2)
类似 Gn，让我们从 Hn的导函数开始
n
Hn'(t) =-Σ sin((2k-1)t) = (cos(2nt)-1)/(2sin(t))
k=1
对两边进行对 t 的从 x 到 π/2 的定积分：
π/2 π/2
Hn(π/2) - Hn(x) = ∫cos(2nt)/(2sin(t))dt - ∫1/(2sin(t))dt
x x
π/2
同样用 intrgrate by part 的技术去论证 lim ∫cos(2nt)/(2sin(t))dt
x
n
Hn(π/2) = Σcos(kπ-π/2)/(2k-1) = 0
k=1
π/2
所以
lim Hn(x) = ∫1/(2sin(t))dt
x
= ln[ (1+cos(x))/(1-cos(x))]/4
因此我们有
lim Fn(x) =
lim Gn(x/2) cos(x/2) +
lim Hn(x/2) sin(x/2)
= π/4 cos(x/2) + sin(x/2)/4* ln[ (1+cos(x/2))/(1-cos(x/2))] Q.E.D.
但我总觉得复变函数论那边应该有什麽有用的结论可以简化这个过程。
这过程会那麽麻烦是因为我把 cos 和 sin 分开处理
如果换个方向，我定义一个函数
n
Ln(x) = Σ e^(jkx)/(2k-1)
k=1
那题目问的其实就是 lim Im( Ln(x) )
而 Ln 我们可以很容易地写出
n
-2j Ln'(x) - Ln(x) = Σ e^(jkx)
k =1
= = e^(jx)(1-e^(jnx))/(1-e^(jx))
这样就变成一个一阶线性微分方程
只是因为我复变...嗯 基本算是忘光了 就交给其他有能的人处理吧
吃饭去～
https://twitter.com/Ganka_Illust/status/1498168693095682048/photo/1
https://pbs.twimg.com/media/FMqQSGjVUAMCMT_.jpg
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让苦命驱魔师爱上这个世界的方法
https://i.imgur.com/pBiFmqH.jpg
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 98.45.135.233 (美国)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1646707636.A.B61.html
1F：→ Lanjaja : 我反而比较好奇怎麽大家怎麽确定这个级数收敛？ 03/08 15:32
2F：推 Vulpix : Abel test 03/08 17:48
3F：→ Vulpix : Dirichlet test 应该更直接一点。 03/08 17:49
Σ sin(kx) 这个没收敛还没办法直接套 Abel test
Direchlet test 方便～
4F：推 Vulpix : 那个部分和Ln，写到一半就放弃是正常的。毕竟跟写 03/08 18:03
5F：→ Vulpix : 调和级数的部分和公式一样，都是镜花水月。 03/08 18:03
6F：→ Vulpix : 直接拿收敛定理炸他算极限了。但是ODE的右式显然不 03/08 18:07
7F：→ Vulpix : 收敛，这可以先乘以r^k再用Abel's theorem延拓过去 03/08 18:07
8F：推 wohtp : 偷偷给theta加个虚部就保证收敛了（拖回物理板 03/08 21:57
9F：推 AnnaOuO : 第一个做法推一个 仔细看过後觉得没任何问题 03/08 23:19
10F：→ AnnaOuO : 而且说过程不漂亮也不会 至於复变那边是否有技巧能 03/08 23:20
11F：→ AnnaOuO : 简化过程我目前觉得没有 除非有不一样的切入点 03/08 23:24
12F：推 Vulpix : 加正虚部就是乘以比1小的r，差不多一样，阿贝尔。 03/08 23:38
你可以多说明一下你讲的这个处理手法吗？
※ 编辑: arrenwu (98.45.135.233 美国), 03/09/2022 00:45:19
13F：推 cmrafsts : 复变的话就z=exp(i\theta)，那你会得到(zF)' 03/09 01:29
14F：→ cmrafsts : =z/(1-z)，这样就可以解F然後代值取虚部...但我说 03/09 01:30
15F：→ cmrafsts : 这样做当然还缺了个重要部分。 03/09 01:31
16F：推 cmrafsts : 抱歉，前面算错了XD。换成z後你先用Abel summation 03/09 01:45
17F：→ cmrafsts : formula看收敛性，他会定义一个holomorphic 03/09 01:45
18F：→ cmrafsts : function on C\{1}，然後你在|z|<1算出他的表达法 03/09 01:46
19F：→ cmrafsts : 就可以快乐的代值了～ 03/09 01:46
20F：→ cmrafsts : 阿，没有那麽大的范围，只有|z|<=1会收敛，这就相 03/09 01:47
21F：→ cmrafsts : 但你应该还是能直接代值才对 03/09 01:49