※ 引述《yclinpa (一等士官长罗杰兔)》之铭言： ※ 引述《OSGrup (open将真的很可爱)》之铭言： : 题目:设f(x)是[a,b]的非负可积分函数， ^^^^^^ 我想这里指的是 Riemann 可积函数。 若仅为 Lebesgue 可积，则原推文中 zhanguihan 网友给了反例。 : b : 若有∫f(x)dx=0，试证明对任给ε>0，存在子区间[α,β]包含在[a,b]， : a : 使得f(x)<ε，α≦x≦β : proof: 假设 存在ε>0，且存在子区间[α,β]包含在[a,b]使得f(x)>ε，α≦x≦β 这里的反证法假设有误。 若原命题不成立，则对所有的子区间 [α,β] of [a,b]， 皆存在一点 x_0 in [α,β] 满足 f(x_0)≧ε。 以下不阅。 顺着这个反叙述，则可证：对任意的有限分割 P for [a,b], 上和 U(f,P) 至少是 ε(b-a)， <--- 当作练习。 故上积分至少是 ε(b-a)。 矛盾。 感谢提示，得到灵感。目前看书还没有讲上积分。我证明如下， 若原命题不成立，存在ε>0，对所有子区间[x_i,x_i+1] of [a,b]， 皆存在一点ξ_i in [x_i,x_i+1] 满足f(ξ_i)≧ε， 其中Δ:a=x_0<x_1<......<x_n=b , n n 积分和为 Σf(ξ_i)Δx_i ≧εΣΔx_i = ε(b-a) i=1 i=1 b n 因此 ∫f(x)dx =limΣf(ξ_i)Δx_i≧ε(b-a) >0 (矛盾) a n->oo : ∵f(x)>ε，α≦x≦β : β β : ∴∫f(x)dx>∫εdx=ε(β-α) : α α : ∵f(x)≧0，对所有x属於[a,b] : b α β b : ∴ ∫f(x)dx = ∫f(x)dx + ∫f(x)dx + ∫f(x)dx ≧ε(β-α)>0 (矛盾) : a a α β : 证∫f(x)dx =明完毕。 : 我没有很肯定我的写法有没有错误，请大家指教，谢谢 -- 必先静修 而後致理 学富十车悟文德 抗怀万古蕴圣心 则卫理 则达人 血融精诚见金瓯 生仗旷远图育达 千秋铭传 万世崇光 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 101.10.1.69 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1645748741.A.8D4.html --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 163.20.246.224 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1645766847.A.D02.html