作者LPH66 ( )
看板Math
标题Re: [其他] 请问两个根号相加後的2020次方的个位
时间Thu Feb 17 11:52:28 2022
※ 引述《deardidi (跑吧)》之铭言：
: https://i.imgur.com/h5H2cnU.jpg
: 想用二项式定理但仍然不得其门而入
: 请问有何解法，谢谢^^
: 推 Starvilo : 补个减试试 02/17 10:40
: → deardidi : 请问怎麽补个减呢？谢谢^^ 02/17 11:00
: → chang1248w : 你会发现(sqrt3-sqrt2)^2020几乎是零 02/17 11:44
: → chang1248w : (sqrt3+sqrt2)^2020+(sqrt3-sqrt2)^2020是一坨整数 02/17 11:45
直接补减有点麻烦, 因为这题是两个根号
不过可以做点变换: 由 (√3 + √2)^2 = 5 + 2√6
因此原数 = (5 + 2√6)^1010 这就可以补减了
令 x = 5 + 2√6, y = 5 - 2√6, 注意 0 < y < 1; 这个 y 就是所谓「补减」
再令数列 a_n = x^n + y^n, 因为 0 < y < 1 所以 0 < y^n < 1
因此所求 x^n 的个位数即是 a_n 的个位数减 1
而我们有 a_{n+1} = x^(n+1) + y^(n+1)
= x^(n+1) + x^n y + x y^n + y^(n+1) - x^n y - x y^n
= (x+y)(x^n + y^n) - xy (x^(n-1) + y^(n-1))
= (x+y) a_n - xy a_{n-1}
容易计算 x+y = 10, xy = 1, 所以有关系式 a_{n+1} = 10 a_n - a_{n-1}
数列的开头项是 a_0 = 2, a_1 = x+y = 10
由此即可由关系式逐渐往上算求出後面的项
(这其实就是这个补减项技巧的核心: 对於 N 次方和都能有这样的递回关系式
然後这数列的开头几项又是整数容易计算, 补的减项又够小所以对整数几乎没影响
上面说 √3+√2 直接补减有点麻烦就是在这里, 开头项和关系式都还会带 √3
要消到没有根号要把四个共轭根号都拉出来, 但关系式就会变成从前四项算下一项
那不如先平方一次消掉一个根号)
那我们要求的又是个位所以只算个位就好
算上去就会看到数列 a 的个位是以 2 0 8 0 这样在循环的
因此所求的 a_1010 和 a_2 个位相同为 8, 所以所求为 7
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LPH [acronym]
= Let Program Heal us
-- New Uncyclopedian Dictionary, Minmei Publishing Co.
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 49.159.72.196 (台湾)
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※ 编辑: LPH66 (49.159.72.196 台湾), 02/17/2022 11:53:21
※ 编辑: LPH66 (49.159.72.196 台湾), 02/17/2022 11:54:41
1F：推 jchin : 因为y^n非常小, 有可能x^n个位数=a^n个位数? 02/18 05:40
2F：→ LPH66 : 这就是为什麽除了强调 y<1 外, y>0 也很重要 02/18 10:05
3F：→ LPH66 : a_n 这个整数是所求 x^n 加上一个很小的正数 y^n 02/18 10:05
4F：→ LPH66 : 正数这一点保证 a_n - y^n 的个位一定会少 1 02/18 10:06
5F：→ LPH66 : (像是 42 - 0.0000001 = 41.9999999 这样的感觉) 02/18 10:07
6F：推 deardidi : 好厉害 想到这种方法 谢谢你的教学^^ 02/18 17:41