作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
标题Re: [微积] 黎曼和取极限难题！
时间Thu Jan 13 03:44:54 2022
※ 引述《mars0804 (风中一枝草)》之铭言：
: https://i.imgur.com/N1GfAaY.jpg
: 想询问这两题如何使用黎曼和计算？
: 代入後会发现并不是特殊级数可代公式，
: 请问能怎麽解？
首先，黎曼和不是只有「上和」、「下和」。
（至少这两题都是闭区间上的连续函数，所以上下和都是黎曼和。）
更何况用上下和算积分的方式是所谓的达布积分，并非黎曼积分的本意。
黎曼和里面有两种可以颇随便的东西：分割、每一段的代表点。
（即使是达布的上下和在分割上也一样自由。）
我猜你应该是用了等距分割，然後代表点也直接用左端点或右端点。
这样刚好是一些上下和，但这些上下和很难算出精确值。
所以不是改变
分割就是改变
代表，或者全都改。
以下都用第一题当例子。
这类型的题目可以选用等比分割。
把 1 到 2 的这段区间，用 2^(1/n)、2^(2/n)、2^(3/n) 等数字切开。
代表的话，可以继续用左右端点去写，都是一些等比级数，算完取极限就好。
用左端点得到上和 = Σ_{k=1}^{n} {2^(k/n)-2^[(k-1)/n]}/2^(3k/n)
用右端点得到下和 = Σ_{k=1}^{n} {2^(k/n)-2^[(k-1)/n]}/2^[3(k-1)/n]
或者不对分割设限。
用 1 = x_0 < x_1 < x_2 < x_3 < ... < x_n = 2 来分割。
在每一段 x_{k-1} 和 x_k 之间，
以 [2*x_{k-1}^2*x_k^2/(x_{k-1}+x_k)]^(1/3) 为代表。
验证他真的介於 x_{k-1} 和 x_k 之间是必须的。
验证完之後，剩下的加法就只是一个分项对消的过程而已。
而且取极限的过程可以免去，因为这样只会算出 3/8 而已。
黎曼和的定义之所以写得那麽难用，
是因为对於不同的被积函数，有不同的好用分割和好用代表。
而黎曼和的定义为了兼容并蓄，就长得不好算了。
可是一旦知道他背後的想法，就知道黎曼和在计算上的意义：
1. 先用其他各种定理确认黎曼积分存在。例如：闭区间上的连续函数可积分。
2. 「挑」一些黎曼和来算，而且不管最长段多小都要有挑到对应的分割方式。
3. 把黎曼和的极限算出来。
因为第二步骤是用挑的，所以这些黎曼和应该都会很好算。
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1F：推 alan23273850: 详细给推，我记得 Rudin 第六章所介绍的积分应该全 01/13 09:28
2F：→ alan23273850: 部都是达布积分，不知为何课本没强调这件事？ 01/13 09:28
3F：→ Vulpix : 事实上就是等价的，随便定义一个然後用TFAE也行。 01/13 10:32
4F：推 alan23273850: 记得黎曼积分和达布积分不等价，其中一个比较强？ 01/13 11:27
5F：→ Vulpix : 你记错了。 01/13 13:51
6F：推 znmkhxrw : ∫fdα的RS积分, 若f有界且α递增则黎曼达布等价 01/13 14:43
7F：→ Vulpix : 先只考虑α(x)=x。f无界的时候黎曼和、上下和会一起 01/13 15:35
8F：→ Vulpix : 坏掉吧。啊，上下和会先坏掉，黎曼和在算极限的时候 01/13 15:38
9F：→ Vulpix : 应该也会跟着坏掉。 01/13 15:38
应该说，我谈 Riemann integral 的时候，不会预设在讨论 RS。
特别是这种看起来像高中基本题的。
我知道 RS 和 DS 是有条件等价，但现在只先考虑 R 和 D 之间的异同。
※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 01/26/2022 02:19:58