与其问是不是trivial，倒不如说是routine 换言之，这些步骤看似繁琐，但其实每一步都是在逻辑上非常直接的。 我们可以一面回顾数学上严谨定义Fourier Transform进化史，一面回答这个问题 Step 1.定义 F{f}(y) = 积分(R) f(x) exp(2piixy) dx 这个定义式(至少表面上)只对f in L^1 有定义。 此时积分绝对收敛，基本上瑕积分怎麽算都没关系，我们还得到 F：L^1 -> L^infinity为有界算子(连续映射)。 Step 2. 然而F真正厉害的地方，是在它可以定义在L^2上，却未必能用Step 1的积分式 得到。 因此需要迂回定义，先证明对於 f in L^1交集L^2 总有 积分(R) |f(x)|^2 dx = 积分(R) | F{f}(y)|^2 dy 得到F：L^1交集L^2 -> L^2 为连续， 再利用L^1交集L^2 dense in L^2 唯一延拓到有界算子F：L^2 -> L^2。 既然定义就这麽迂回，实际计算一个L^2(却非L^1)函数的Fourier Transform当然也 不会很直接。 我们必须 1. 找fn -> f in L^2, 其中fn in L^1交集L^2 2. 计算F{fn} 3. 求出F{fn} 在 L^2之极限g(必存在)，答案即是F{f} 在数学书上，通常这部证明都很随意说，反正simple function 在L^1交集L^2里啊 然後simple function dense in L^2... 问题是实务上很难控制逼近f的simple function列，更遑论他们的Fourier transform [这根本像是用黎曼和去算黎曼积分] 比较实际的做法就是用瑕积分的观点，以本题的例子，f(x)在有限范围内根本有界，故取 fn(x) = f(x) if |x|<=n 0 otherwise 那fn就是满足上述条件1.，而F{fn}也就是积分([-n,n]) ...的结果，於是完成了2.。 最後3.，所谓的「工数书」也确实计算了F{fn}的极限h，但却是逐点极限(或a.e.) 表面上和真正所要的L^2极限g不同。 幸好两者都可化为更弱的converge in measure，故有h=g=F{f} a.e. ，解决了这个问题。 以上去除废话，整理重点，就得到原Po提问的「会不会太绕路的证明」 问题解决了，但Fourier进化故事还没有完。(以下简述，详情请自行查阅) Step 3. 证明F：S→S为连续 其中S为Schwartz space。 Schwartz space里面都是超好的函数，本身都是L^1，照道理应该早在Step 1.就完成了。 这一步最主要是要证明连续性，然而用意一时看不出来。 Step 4. 将F延拓至S'→S'，S'=S的对偶空间，又称tempered distribution。 利用f,g in L^2时有 积分(R) F{f}(t)g(t)dt = 积分(R) f(t)F{g}(t) dt 将L^2函数与它的dual等同 我们终於看到Step 3欲擒故纵的诡计了，将上式的g限缩在S中时，可扩大f的适用(定义) 范围到S'。 而S'就包含了恶名昭彰(?)的delta function，以及它的各阶导数，基本上工数看得到 的函数都逃不出S'。 一样的，既然定义是用诡计，实际计算时自然也不脱这个诡计。 通常有一个方向比较好算，另一个方向使用Fourier inversion来推理。 不妨留做习题 -- r=e^theta 即使有改变，我始终如一。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 27.105.54.161 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1641311400.A.DB4.html 之所以留成习题是因为这边其实一些没那麽直接的事情... 譬如说IFT，基本上IFT的定法和FT一样，只是i换成-i，所以也是可以照相同步骤延拓定义 而只有在L^2、S、S'上IFT和FT能互为反变换(定义域和对应域相同) 互为反变换，也就是IFT{FT{f}}=f这件事，严谨的话就要花点力气证 (注意到i和-i的对称性，所以FT{IFT{g}}=g同理) 但据我所知，F：L^2→L^2是双射，尤其是满射应该证明上述反变换关系才能得到吧。 (单射还可以用保距性) 所以应该没有先用双射造出一种IFT，积分+迂回定出另一种，再来证明相等。 其他像在Step 4里面 delta function的变换虽然简单，但反过来计算1的变换，却相当於IFT反变换关系 其实也很合理 distribution -> function 这个方向比较好算(毕竟算出来是一个好好的函数) 反过来要算出distribution就比较麻烦，幸好有反变换帮忙。 不过，也不是总有一边好算，譬如Dirac comb的变换还是Dirac comb， 两边都一样难(应该说两边根本一样)。这和Possion summation formula有关。 对於distribution的情形，能不能把工数常见计算手法依照这篇的逻辑架构严谨说明 就是我想的习题。 ※ 编辑: LimSinE (219.85.157.150 台湾), 01/06/2022 23:24:59