作者alan23273850 (God of Computer Science)
看板Math
标题[分析]Riemann-Stieltjes积分如果α=0则f可无界?
时间Tue Dec 21 14:38:39 2021
如题﹐小弟我最近又有一个疑问了，Rudin 在定义 Riemann-Stieltjes 积分的时候，
只规定 (积分因子?) α 不递减而已，不一定要严格递增，可是又说 f 要 bounded，
虽然这样是可以保证可积没错，可是我又在想，如果 α(x) = 0 for all x 的话，
那 f 无论是多少，每个 partition 的上和 & 下和都会是 0 (provided inf * 0 = 0)
这样不是就满足积分收敛的定义了吗？所以我想问，f 如果 unbounded 但是上下和明显
收敛的话，算是有没有定义 Riemann-Stieltjes 积分了呢？先谢谢诸位了！
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1F：推 ERT312 : f bounded 并无法保证可积,而 f unbounded的话 12/21 18:33
2F：→ ERT312 : M_i或m_i连定义都无法定义,即使你让α为常数函数也 12/21 18:34
3F：→ ERT312 : 一样 所以一开始的条件就说 f 要bounded 12/21 18:36
4F：→ alan23273850: 所以在 extended real number system 底下无限大只 12/21 19:23
5F：→ alan23273850: 能用来比大小，不能乘以 0 = 0 罗？ 12/21 19:24
6F：→ alan23273850: 冲着大大二楼所说的 "无法定义"，在 extended 系统 12/21 19:26
7F：→ alan23273850: 下其实是可以的，所以问题应该是 reduce 到说 exten 12/21 19:27
8F：→ alan23273850: 系统下有没有定义 inf * 0 = 0 这句话 12/21 19:27
10F：→ alan23273850: 而来，我个人认为这里的 f 既不需要 bounded 也不需 12/21 20:25
11F：→ alan23273850: 要 continuous，然後说积分结果会是 f(s+) 就好？ 12/21 20:26
12F：推 ERT312 : f若在s不连续 M2跟m2可能不会收敛到同一个值 12/21 21:01
13F：→ alan23273850: 那是因为他最後结论是 f(s)，但如果只要 f(s+) 的话 12/21 21:02
14F：→ alan23273850: 其实 f 根本什麽假设都不用有，连 bounded 都不用？ 12/21 21:02
15F：推 ERT312 : 不收敛到同个值就不可积了呀 12/21 21:04
16F：→ alan23273850: f(s+) 也是一个值阿～～ 不用在 f(s) 有定义 12/21 21:37
17F：→ alan23273850: 喔喔喔 我好像想错了 f(s+) 其实也是由 "许多" 函数 12/21 21:41
18F：→ alan23273850: 值所组成起来的 12/21 21:42
19F：→ alan23273850: 所以 extended 系统有没有定义 inf * 0 = 0 我还是 12/21 22:09
20F：→ alan23273850: 不知道 12/21 22:09
21F：→ alan23273850: 刚查了一下 Rudin 确实好像没有看到这个规则 12/21 22:10
22F：推 ERT312 : extended real 没有硬性规定 inf*0=0 (要到测度论) 12/21 22:19
23F：→ ERT312 : 这里还不需要特别定义 extended real 12/21 22:20
24F：→ alan23273850: 懂了！看来是因为这里没有出现 extended real的缘故 12/21 22:35
25F：→ alan23273850: 非常感谢 ERT312 大 12/21 22:35
26F：推 znmkhxrw : f有界的时候可以有诸多RS可积的等价定义 12/22 01:05
27F：→ znmkhxrw : 但是今天如果你自行定义RS可积为"不需要f有界" 12/22 01:05
28F：→ znmkhxrw : 那其实你可以从"f(t_i)α(x_i)-α(x_i-1) 这个定义" 12/22 01:06
29F：→ znmkhxrw : 去推出f是有界的, 前提是α绝对递增 12/22 01:07
30F：→ znmkhxrw : 可以参考#1GzOHyV2这个证明 12/22 01:07
31F：→ znmkhxrw : 总之, (1) 采用"f(t_i)α(x_i)-α(x_i-1)"这定义的 12/22 01:08
32F：→ znmkhxrw : 的话, 当你α绝对递增时, 若可积则可"推导"出f有界 12/22 01:08
33F：→ znmkhxrw : (2) 承(1), 你的例子α不是严格递增, 所以虽然符合 12/22 01:08
34F：→ znmkhxrw : 上述的可积定义, 也导不出f有界 12/22 01:09
35F：→ znmkhxrw : (3) 普遍大家会用f有界当前提, 这样α不用严格递增 12/22 01:09
36F：→ znmkhxrw : 而且也有一堆等价定义(因为M_i,m_i这个在f无界是广 12/22 01:10
37F：→ znmkhxrw : 义实数的范畴, 因不同领域的方便性而有不同定义) 12/22 01:10
38F：→ alan23273850: 太详细了！再次谢谢 z 大～ 12/22 09:54
39F：推 znmkhxrw : 不客气~ 12/22 12:35
40F：推 chy1010 : 先考虑有界, unbounded 用瑕积分的方式去定义 12/27 03:08
41F：→ alan23273850: 楼上是熟悉的 id 呢，不过这个回答我喜欢，冲着这句 12/27 20:27
42F：→ alan23273850: 话我又上网复习了一下什麽是瑕积分，Rudin 只在第六 12/27 20:28
43F：→ alan23273850: 章的习题 7,8 定义它们而已，而且还是单边的，果然 12/27 20:29
44F：→ alan23273850: 是古书。* 更正：熟悉的 id --> 令人怀念的 id 12/27 20:29
45F：推 chy1010 : 很多书的脉络大多类似, Lebesgue 积分也是 simple 12/27 21:19
46F：→ chy1010 : function 取极限, 道理很像. 12/27 21:19