切2段做不出来的话，就切3段~~ 固定a<x<y<b，记f(a)=f(b)=P, f(x)=Q, f(y)=R 取u,v使得g(u)=Q, g(v)=R, 同时已知 g(c)=g(d)=P，不失一般性可设c<u<v<d 又记紧致连通集 f([a,x])=A, f([x,y])=B, f([y,b])=C 则A交B={Q}、B交C={R}、C交A={P} 考虑连通集X = g((c,u)) 则 X交A、X交B、X交C两两不相交，且联集=X 故其中1个为X，其余2个为空集合。 因P,Q in g([c,u]) in closure of X，3种可能中只可能是X <= A，g([c,u])<=A 由f,g两者之对称性A<=g([c,u])，从而A=g([c,u]) 同理 B=g([u,v])、C=g([v,d]) 这样就可以安全地对A、B、C分开使用Thm 1.，再兜起来就可以了。 ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言： : 定义: : <Def1> A path f is a continuous function f:[a,b]→R^n : <Def2> Two paths f:[a,b]→R^n, g:[c,d]→R^n are equivalent : if there exists continuous, strictly monotonic and onto : u:[a,b]→[c,d] s.t. f=g。u : <Def3> Two paths f:[a,b]→R^n, g:[c,d]→R^n have the same trajectory : if range of f = range of g : <Def4> A Jordan curve is a path f:[a,b]→R^n : s.t. f(a)=f(b) and f is 1-1 on [a,b) : 已知: : <Thm1> Let f:[a,b]→R^n, g:[c,d]→R^n be two 1-1 paths : Then f is equivalent to g <=> f and g have the same trajectory : 想问: : <Thm2> Let f:[a,b]→R^n, g:[c,d]→R^n be two Jordan curves : s.t. f(a)=f(b)=g(c)=g(d) : Then f is equivalent to g <=> f and g have the same trajectory : (想证<=, 另外一个方向是trivial) : 想法:(令共同的起终点为p, 共同的轨迹为J) : 1. 因为不是全域1-1, 所以无法直接使用<Thm1>的结果, 也无法直接复制<Thm1>的证明 : 2. 想把[a,b]切成[a,x]∪[x,b], [c,d]切成[c,y]∪[y,d]分成两段引用<Thm1> : 3. 令F:=f|_(a,b), G:=g|_(c,d), 所以F,G是1-1且onto J-{p} : 4. 任取x€(a,b), 且令 y:= G^-1(F(x)) : 5. 想证明: either (1) or (2) happens : (1) 若存在x_1€(a,x) 使得G^-1(F(x_1))€(c,y) : 则f[a,x] = g[c,y] & f[x,b] = g[y,d] : (2) 若存在x_1€(a,x) 使得G^-1(F(x_1))€(y,d) : 则f[a,x] = g[y,d] & f[x,b] = g[c,y] : 6. 对5.就能引用<Thm1>去把两段连续单调函数接起来 : 卡住的点: : 证不了5. : 想了好几天, 觉得应该很简单, 应该用connected, compact, continuous这些性质兜出来 : 我猜关键是证明F^-1与G^-1是连续函数然後去观察G^-1(F[x_1,x]), 但是也不知道怎麽证 : 因为连续函数的反函数不一定是连续的, 除非定义域是紧致的就能确保 : 而这里F与G的定义域都不是紧致集合 : 还是说我证不出来是因为<Thm2>根本不成立...存在奇形怪状的反例Jordan曲线? : ----------------------------------------------------------- : 谢谢帮忙! -- 中 最 连 紧 闭 开 值 大 通 致 集 集 在 最 到 映 返 返 中 小 连 紧 闭 开 间 值 通 致 集 集 。 ， 。 ， ； ， --

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