定义: <Def1> A path f is a continuous function f:[a,b]→R^n <Def2> Two paths f:[a,b]→R^n, g:[c,d]→R^n are equivalent if there exists continuous, strictly monotonic and onto u:[a,b]→[c,d] s.t. f=g。u <Def3> Two paths f:[a,b]→R^n, g:[c,d]→R^n have the same trajectory if range of f = range of g <Def4> A Jordan curve is a path f:[a,b]→R^n s.t. f(a)=f(b) and f is 1-1 on [a,b) 已知: <Thm1> Let f:[a,b]→R^n, g:[c,d]→R^n be two 1-1 paths Then f is equivalent to g <=> f and g have the same trajectory 想问: <Thm2> Let f:[a,b]→R^n, g:[c,d]→R^n be two Jordan curves s.t. f(a)=f(b)=g(c)=g(d) Then f is equivalent to g <=> f and g have the same trajectory (想证<=, 另外一个方向是trivial) 想法:(令共同的起终点为p, 共同的轨迹为J) 1. 因为不是全域1-1, 所以无法直接使用<Thm1>的结果, 也无法直接复制<Thm1>的证明 2. 想把[a,b]切成[a,x]∪[x,b], [c,d]切成[c,y]∪[y,d]分成两段引用<Thm1> 3. 令F:=f|_(a,b), G:=g|_(c,d), 所以F,G是1-1且onto J-{p} 4. 任取x€(a,b), 且令 y:= G^-1(F(x)) 5. 想证明: either (1) or (2) happens (1) 若存在x_1€(a,x) 使得G^-1(F(x_1))€(c,y) 则f[a,x] = g[c,y] & f[x,b] = g[y,d] (2) 若存在x_1€(a,x) 使得G^-1(F(x_1))€(y,d) 则f[a,x] = g[y,d] & f[x,b] = g[c,y] 6. 对5.就能引用<Thm1>去把两段连续单调函数接起来 卡住的点: 证不了5. 想了好几天, 觉得应该很简单, 应该用connected, compact, continuous这些性质兜出来 我猜关键是证明F^-1与G^-1是连续函数然後去观察G^-1(F[x_1,x]), 但是也不知道怎麽证 因为连续函数的反函数不一定是连续的, 除非定义域是紧致的就能确保 而这里F与G的定义域都不是紧致集合 还是说我证不出来是因为<Thm2>根本不成立...存在奇形怪状的反例Jordan曲线? ----------------------------------------------------------- 谢谢帮忙! --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 61.231.117.32 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1639570894.A.8FA.html 对~漏了 谢谢 V大是默认 F^-1:J-{p}→(a,b) 与 G^-1:J-{p}→(c,d) 都是连续的? 这部分我也不知道怎麽证@@ 这感觉会遇到我"5."说的问题耶 f|_[a_n,b_n] :[a_n,b_n] → f[a_n,b_n] 虽然是homeomorphism 但是现在要用G^-1把f[a_n,b_n]打回来的话: (1) 怎麽确定 G^-1|_f[a_n,b_n] (G^-1限制在f[a_n,b_n]) 是连续的? (2) 如果G^-1连续的, 藉由f[a_n,b_n]是连通且紧致的, 就能知道G^-1(f[a_n,b_n]) 是闭区间 也就是说, "5."就是想让f限制在[a,x], 跟V大你说的[a_n,b_n]差不多 但是限制完之後我就因为没有G^-1的连续性把f[a,x]打回闭区间QQ ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 12/16/2021 01:33:54 V大我还是觉得怪怪的耶, 详细如下: 对任何a<a_n<b_n<b, 令K:=f[a_n,b_n], 则K紧致且K被J-{p}包含 令S:=G^-1(K) 则: (1) G^-1|_K : K→S 是1-1 & onto (2) G|_S : S→K 是1-1 & onto & continuous (3) G|_S跟G^-1|_K互为反函数 接着我们发现: (a) 若S是紧致的, 则藉由你说的那个定理可以得到G^-1|_K是连续的 (b) 若G^-1|_K是连续的, 则S是紧致且连通, 所以S是闭区间 也就是说, S是紧致<=>G^-1|_K是连续 而问题就在於目前两个方向的前提都未知, 只要一方前提成立那就好办了 还是怪怪的耶, G:(c,d)→J-{p} 是连续, K被J-{p}包含且紧致, 因此K是J-{p}的闭集合 藉由G的连续性我们知道S is closed in (c,d), 并无法推出closed in R (要closed in R且bounded才能推得compact) 嗨V大~解决啦! 确实要解决p点附近的问题, 概述如下: (1) 想证G^-1:J-{p}→(c,d)是连续的(F^-1同理) (一般来说, 任何G:(c,d)→M如果是1-1, onto连续, 那G^-1不一定连续 但之後会看到本题的G是由g来的, 而g在[a,b) 1-1以及g(c)=g(d)却能让G^-1连续!) pf: 对q€J-{p}, 想证明存在δ>0使得q€interior of G[c+δ,d-δ], say int(K) 先假设成立, 则因K紧致, 有G|_[c+δ,d-δ]:[c+δ,d-δ]→K 是homeomorphism 也就是说, G^-1|_K在q连续 接着因为q€int(K), 因此G^-1在q连续 然後就是证明为何存在δ>0使得q€int(K) 假设不存在, 则对於任何δ>0, q都不属於int(K) 而G^-1(q)€(c,d), 所以取够小的δ就有q€K 因此得到q€bd(K), 所以藉由边界的定义, 取同样的δ>0 我们知道存在s€K^c使得d(s,q)<δ 接着注意s=G(x_δ) for some x_δ€(c,c+δ)∪(d-δ, d) 因此有d(G(x_δ),q)<δ--(*) 然後令δ=1/n, a_n:=x_(1/n)€(c,c+1/n)∪(d-1/n, d) 则一定(c,c+1/n)或是(d-1/n, d)存在无限多个a_n, say (c,c+1/n) 因此取子列b_k:=a_(n_k)€(c,c+1/n_k), 藉由夹挤我们有 b_k→c 接着(*)告诉我们 G(b_k)→q, 因此g(b_k)→q 再来因为g的连续性我们有g(c) = q = G(G^-1(q)) = g(G^-1(q)) 最後因为g在[c,d) 1-1而G^-1(q)€(c,d), 因此c = G^-1(q), 矛盾! (2) U:=G^-1。F: (a,b)→(c,d)是1-1, onto, continuous的所以严格单调 之後再把u扩充左右两端点即可, say u(因为严格单调所以左右极限存在) 如此便得到f = g。u 这在Apostol第六章最後章节有唷, 简单说就是令u:=f^-1。g或是g^-1。f即可 由V大的定理(Apostol也有)可知u是连续的, 而易知u是1-1且onto from [a,b] to [c,d] 因此又可藉由初微的分析得到u是严格单调的 是的! 所以关键在於量化与定义问题XDD ※ 编辑: znmkhxrw (61.231.117.32 台湾), 12/18/2021 02:36:28