作者alan23273850 (God of Computer Science)
看板Math
标题Re: [分析] 为什麽 dy/dt = dy/dx * dx/dt 并不严谨?
时间Tue Dec 14 01:25:50 2021
※ 引述《alan23273850 (God of Computer Science)》之铭言：
: 如题，小弟这学期正在研读 Rudin 这本书，Theorem 5.5 正好是初微讲过的 chain rule
: 我深知它的证明手法大概都是层层剥开，然後每一层都是藉由 "该变数趋近於目标值所以
: 残余项趋近於零" 的这个现象来说明该层导数刚好就是那个位置的微分值，只是按照这个
: 说法，那我附图 https://imgur.com/fDhSMpN 中的最後一行，也就是去模拟 dy/dt =
: dy/dx * dx/dt 这个写法的这件事应该也没错啊，那为什麽会有人说这种看起来可以通分
: 的写法是 nonsense 呢？Nonsense 指的是 dv 这种符号不可以用在这里，还是说我附图
: 最底下式子的写法也不甚严谨呢？如果是，又是不严谨在哪呢？
: 先谢谢各位先进解惑了！
我後来又多花了两个小时看这段证明，终於更具体地抓到 Rudin 写法的漏洞了！！！
我把课文注解如附图：
https://imgur.com/nLnMDjN
事实上课本就是没有好好地处理 f(t) = f(x) 的情况，(这比切线斜率 0 还要强)
它最後一行很贼地直接说整包会 tends to g'(y)f'(x)，而不是 g'(y) + v(s) tends to
g'(y) 和 f'(x) + u(t) tends to f'(x)，就是因为当 f 在 x 附近有短暂水平线的时候
g'(y) + v(s) = g'(y) + v(y) 可以是任意值，但这个时候的 f'(x) + u(t) 刚好为 0，
所以结论才会对。并不是 Rudin 有考虑短暂水平线的情况，而是他没清楚地写出来，
要让读者自行脑补进去；左下角的通分法会让 special case 显露无遗，但 Rudin 的写法
只是把 special case 偷偷藏起来而已，并没有特别高尚，我的见解应该对吧？！
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 115.43.121.35 (台湾)
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※ 编辑: alan23273850 (115.43.121.35 台湾), 12/14/2021 01:38:13
1F：推 cmrafsts : 我有点疑惑他们多变数时怎麽写 如果你看Courant 12/14 02:36
2F：→ cmrafsts : and John的书，他们把v(0):=0来避开这种问题。 12/14 02:37
3F：→ cmrafsts : 我改用small o去写，算式就变得望之令人生厌。 12/14 02:38
4F：→ musicbox810 : 如果有短暂f(t)=f(x)，g(f(t))也会=g(f(x))但是你的 12/14 06:28
5F：→ musicbox810 : 问题是(g(f(t))-g(f(x)))/(f(t)-f(x))这时就不能叫 12/14 06:29
6F：→ musicbox810 : g'(f(x))，逻辑是这样吧? 12/14 06:29
7F：→ musicbox810 : 可是定理又假设g在f(x)可微，所以那种状况就算写成 12/14 06:41
8F：→ musicbox810 : g'(f(x))也不影响最後的结果0 12/14 06:41
9F：→ musicbox810 : 我也觉得不管Rudin是否想到，他这样写不够完整 12/14 07:24
10F：→ alan23273850: 回二楼，那样应该不够，要证明 v(s) 的值不影响结 12/14 13:51
11F：→ alan23273850: 论才行 12/14 13:51
12F：推 secjmy : 你检查一下如果直接定义 12/14 14:11
13F：→ secjmy : v(s)=[g(s)-g(y)-g'(y)(s-y)]/(s-y) if s=/=y 12/14 14:11
14F：→ secjmy : v(y)=0，是不是就没问题了 12/14 14:11
15F：→ alan23273850: 楼上的作法不就跟二楼一样吗？ 12/14 16:41
16F：推 ERT312 : secjmy大的做法没问题啊~不管v(y)怎麽定义 first(5) 12/14 18:01
17F：→ ERT312 : 都会成立 此後的引用first(5)自然对任何v(y)的定义 12/14 18:02
18F：→ ERT312 : 也会成立 那何不选一个比较方便的定义 12/14 18:03
19F：→ alan23273850: 要这样解释也可以，我觉得讨论到最後就变成事物的 12/14 18:17
20F：→ alan23273850: 本质是一体两面而已，没有谁对谁错 12/14 18:17
21F：推 znmkhxrw : Rudin的最後一句可以这样说: 对於任何实数r 12/14 23:37
22F：推 znmkhxrw : 定义v(f(x)):=r, 我们皆有lim_{t→x}v(f(t))f'(x)=0 12/14 23:38
23F：→ znmkhxrw : 而check这件事情不难, 只是小技巧是r=0时可以省一半 12/14 23:39
24F：推 znmkhxrw : 的证明空间, r!=0时就需要讨论聚点情形, 跟"通分式" 12/14 23:40
25F：→ znmkhxrw : 的讨论就变成一模一样 12/14 23:40
26F：→ znmkhxrw : 只是从以前到现在我还没有说服自己的说法去解释为何 12/14 23:41
27F：→ znmkhxrw : r=0就能省证明, 恰好? blabla 12/14 23:41
28F：→ alan23273850: 所以我说 Rudin 的写法只是把 special case 偷偷藏 12/14 23:56
29F：→ alan23273850: 起来而已，并没有特别高尚，这句话很精准吧XD 12/14 23:56
30F：推 Vulpix : 人家藏得好啊。反正不管怎样都避不开f(t)=f(x)的讨 12/15 00:06
31F：→ Vulpix : 论，即使用hyperreal也一样，所以wiki这点写错了。 12/15 00:07
33F：→ musicbox810 : 想藉一步问V大，要如何给出网址 直接跳到你想贴的那 12/15 12:15
34F：→ musicbox810 : 个区块，而不是从最顶开始？非常好奇这种指定段落的 12/15 12:16
35F：→ musicbox810 : 方式，谢谢 12/15 12:16
36F：推 emptie : 维基百科页面的目录不是装饰用的啊 12/15 21:16
37F：→ emptie : 那个都是可以点的连结，点下去就直接跳到该段落 12/15 21:16
38F：推 Vulpix : 我用的是edge的醒目提示。直接用连结也可以，但就没 12/15 22:17
39F：→ Vulpix : 有套色了。虽然手机好像看不到。 12/15 22:18
40F：→ musicbox810 : 原来竟然有这个功能，谢谢两位 12/16 20:53
41F：推 qwop8765 : 微分大於0能证明locally one to one吧 等於0trivial 12/21 03:45