※ 引述《mmxmmxmmx (***********先生)》之铭言： : 题目如下网址连结 : https://imgur.com/a/h8LLs8Y : 想请问如何算出狗跟甲还乙是在几秒相互遇见,并且狗与甲.乙每次 : 相遇是在几公尺直到甲乙相遇？ : 如果用200*4/7=114 2/7 跟 200*3/7=85 5/7 : 好像又不太对,虽然我知道题目的答案算法是200/5=40 200-40=160是答案 : 但去求各自的位置却算不出来,想请问大家是否有其他算法可以算出时间跟 : 各自当时的位置？ 要算位置就彻底一点, 来模仿当年大师冯纽曼的无穷等比级数做法吧: (先说一下: 以下的运算因为设了个未知数, 至少是小六到国中范围 要纯数字运算的话很容易因为分数运算过多无法看到比例关系 而最後一步的无穷等比级数则是高中内容 也就是这题目出在小学资优题就是要学生不要傻傻算距离去找其他关系 －－而这一点题目本身也有暗示了: 「在这段时间内这只狗共跑了多少公尺？」) ===== 把狗从甲身边跑出去碰到乙再回来碰到甲叫一轮 假设在一轮的开始甲乙相距 x 首先先做狗和乙的相向, 距离 x 速度和 7 所以碰面时间 x/7 在这段时间内狗和甲是同向, 拉开的距离是时间乘速度差 x/7 * (4-2) = 2x/7 然後狗回头, 刚才这段距离狗和甲相向, 距离 2x/7 速度和 6 所以碰面时间 x/21 这段时间内狗和乙同向, 拉开的距离是 x/21 * (4-3) = x/21, 这就是下一轮的甲乙距离 因此, 每一轮一去一返总时间是 x/7 + x/21 = 4x/21, 狗跑距离 4x/21 * 4 = 16x/21 因为下一轮开始时甲乙距离是这一轮开始时的 1/21 後面的所有计算全部都缩小成 1/21 然後再下一轮再缩小成 1/21, 一直下去 於是最後碰头时, 狗跑的距离是 (16/21)*200 + (16/21)*(200/21) + (16/21)*(200/(21^2)) + ... 这是一个无穷等比级数 (因为总是有下一轮的甲乙距离, 会有无限多轮距离越来越短) 其和是 [(16/21)*200] / (1 - 1/21) = (3200/21) / (20/21) = 160 ← 为所求 ===== 位置的话利用上面的资讯可以用两种方式算: 第一轮, x 代 200 狗和乙相遇时花了 200/7 秒 从狗看, 狗走了 (200/7) * 4 = 800/7 公尺 或者从乙看, 乙走了 (200/7) * 3 = 600/7 公尺 这位置离另一端 200 - 600/7 = 800/7 公尺 这个时候甲的位置在 (200/7) * 2 = 400/7 公尺 然後回头狗和甲相遇花了 200/21 秒 狗走了 (200/21) * 4 = 800/21 公尺, 所以位置离甲出发点 800/7 - 800/21 = 1600/21 或者看甲走了 (200/21) * 2 = 400/21 公尺, 位置在 400/7 + 400/21 = 1600/21 公尺 这时乙又走了 (200/21) * 3 = 200/7 公尺, 位置在 800/7 - 200/7 = 600/7 公尺 这时甲乙相距 600/7 - 1600/21 = 200/21 正是上面算得的第一轮初始距离乘以 1/21 後续轮的距离可以从这里的计算结果继续堆上去, 但就仍然是一堆分数计算 ==== 这题其实还满好心的, 与狗的两种速度和 7 跟 6 都不是 200 的因数 也就是说如果真的要像上面这样硬算, 就算不论等比级数也会因为一堆分数计算变繁复 因此会把学生的思考方向从认真算出会合距离这一点推开 相对的, 简单做法的关键两人的速度和 5 则是 200 的因数 所以答案是非常简单漂亮的数字 加上前面提过的思路暗示, 个人觉得算是个不错的引导思考题 -- 有人喜欢边玩游戏边上逼； 也有人喜欢边听歌边打字。 但是，我有个请求， 选字的时候请专心好吗？ -- 改编自「古 火田 任三郎」之开场白 --

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