作者LimSinE (r=e^theta)
看板Math
标题Re: [代数] 问一题模考的多项式
时间Fri Dec 3 21:15:11 2021
保留题目。偏不用整除XD
由题目可知 x^2 - x + a 之两根 z, z'满足 z+z'=1, zz'=a
且f(z)=f(z')=0, 其中f(x)=x^13+x+90
仅考虑z,z'非有理数的情形，此时对於Q(z)中的元素 u 均可唯一表成Az+B的形式
且可定义norm N(u)=uu'=(Az+B)(Az'+B)=A^2a+AB+B^2
那麽N(z)=a, N(z^13)=N(-z-90)=a+8190
因为N(z)^13 = N(z^13)，得到关系式(必要条件) a^13 = a + 8190
容易发现a=2是唯一解XD (还需带回验算，很多方法)
不过这可以告诉我们一个线索
如果题目要出 f(x) = x^d + x + C 或 x^d - x + C
那首先要满足必要条件 2^d = 2 + B + B^2 的B 有解
用程式找一下，d在100内只有d=1,2,3,5,13，所以可能是一个很特别的例子。
※ 引述《TimcApple (肥鹅)》之铭言：
: 今年数A的模考题，没有原题，以下是简述
: ==============================================
: 已知 a 是整数
: 且 x^13 + x + 90 是 x^2 - x + a 的倍式
: 试求 a
: ==============================================
: 本题是单选，因此删一删答案就出来了
: 但我还是有几个问题，有点抽象不好意思
: Q1. 虽然可能的 a 只有一个，其它都不可能
: 但要怎麽确定这个 a 真的是答案？
: Q2. 有没有一个定理类似以下叙述，或是反例
: 「设整系数多项式 f, g, 会有一个正整数 N = N(f, g) 使得
: 若有 N 个相异 c 满足 g(c) | f(c), 则 g(x) | f(x) in Q[x]」
: 由於有 2 | n(n+1) 的情况，整除只能在有理数多项式内
: Q3. 出题老师是怎麽知道，或是从哪里知道
: x^13 + x + 90 是 x^2 - x + a 的倍式的？
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: 推 RicciCurvatu: Q1 确定 a後解出两根 带入左式就知道了 Q3同理 12/02 00:29
: 呃 两根是 (1/2)(1+sqrt(7) i) 我不觉得代入是好方法XD
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代数几何观点！
Algebro-Geometrical Aspect!
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1F：推 emptie : 这大概是没提示商式的情况下的做法 12/03 21:30
2F：→ emptie : 确实超过高中范围太多了 12/03 21:30
3F：→ LimSinE : 其实也不远喔，如果z,z'是虚根(如本题)，那norm就是 12/03 21:37
4F：→ LimSinE : 复数平面的绝对值平方，用到乘法性质都是高中范围XD 12/03 21:38
5F：→ LimSinE : 然後x^13+x+90严格递增，所以也不可能有两实根XD 12/03 21:40
6F：推 TimcApple : 这个猛 12/03 23:32
7F：推 LPH66 : 那条必要条件可以乘 4 变形为 (2B+1)^2 = 2^(d+2)-7 12/04 00:05
8F：→ LPH66 : 右边这东西要恰好踩到一个奇完全平方数... 12/04 00:05
9F：→ LimSinE : 诶这有名字...Ramanujan–Nagell_equation 12/04 00:39
10F：推 LPH66 : 所以这五解就真的是仅有的五解 wow 12/04 11:00
11F：推 Vulpix : 不过还是超纲;p 因为学测没有复数QQ 12/04 13:20