作者TimcApple (肥鹅)
看板Math
标题[代数] 问一题模考的多项式
时间Wed Dec 1 22:46:52 2021
今年数A的模考题，没有原题，以下是简述
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已知 a 是整数
且 x^13 + x + 90 是 x^2 - x + a 的倍式
试求 a
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本题是单选，因此删一删答案就出来了
但我还是有几个问题，有点抽象不好意思
Q1. 虽然可能的 a 只有一个，其它都不可能
但要怎麽确定这个 a 真的是答案？
Q2. 有没有一个定理类似以下叙述，或是反例
「设整系数多项式 f, g, 会有一个正整数 N = N(f, g) 使得
若有 N 个相异 c 满足 g(c) | f(c), 则 g(x) | f(x) in Q[x]」
由於有 2 | n(n+1) 的情况，整除只能在有理数多项式内
Q3. 出题老师是怎麽知道，或是从哪里知道
x^13 + x + 90 是 x^2 - x + a 的倍式的？
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1F：推 RicciCurvatu: Q1 确定 a後解出两根 带入左式就知道了 Q3同理12/02 00:29
呃 两根是 (1/2)(1+sqrt(7) i) 我不觉得代入是好方法XD
2F：推 RicciCurvatu: 第二题你的叙述有点问题 g(x)|f(x) in Q(x) 但 g12/02 00:49
3F：→ RicciCurvatu: ＝1 f＝1/2呢？显然你能考虑Z(x)的整除 这样的话你12/02 00:49
4F：→ RicciCurvatu: 的叙述就是对的 显然你只要c取的够多 多项式fg就可12/02 00:49
5F：→ RicciCurvatu: 以被唯一决定12/02 00:49
g(c) | f(c) 是 in Z, 但 g(x) | f(x) 是 in Q[x]
或者我应该写 存在正整数 M 使得 g(x) | M f(x) in Z[x]
我目前想一想 方向有两个
(1) 有没有可能 g(x) 不整除 M f(x)
但是有无限多个 c 满足 g(c) | f(c)
(2) N 能被控制到多小的范围
6F：推 bigbigloser : 可以google关键字： ptt[代数] 多项式整除，之前有12/02 02:04
7F：→ bigbigloser : 讨论过，我觉得模拟考出这个太难了XD，重点是要想到12/02 02:05
8F：→ bigbigloser : 可以用长除法证明x^13+x+90除以x^2-x+a後也是整系数12/02 02:06
9F：→ bigbigloser : 多项式。12/02 02:10
对了 其实题目有说 Q(x) 是整系数 是我没打上来
这题难度很吊诡 老师都知道这题超出高中程度
但高中生看看详解 觉得看得懂
就以为这题不难 只是考试没想到
一般高中生对整数相关题目的难度没有认知
大抵都停在看详解看的懂 但自己写不出来的程度
※ 编辑: TimcApple (101.10.106.171 台湾), 12/02/2021 02:50:07
10F：→ RicciCurvatu: 没说要用手算吧？ 就算最笨的长除法用电脑做也是两 12/02 06:15
11F：→ RicciCurvatu: 秒的是事 出题跟解题的逻辑不一样 另外有没有超范 12/02 06:15
12F：→ RicciCurvatu: 围我觉得还是要看选项 这题应该是要考牛顿堪根？ 12/02 06:15
13F：推 tzhau : 108新课纲已经没有牛顿一次因式检验法。 12/02 09:03
14F：→ tzhau : 按课纲精神我猜这题只是要考除法原理，和代数字看因 12/02 09:05
15F：→ tzhau : 数这件事 12/02 09:05
16F：推 GaussQQ : 北七课纲 12/02 11:57
17F：推 Vulpix : 选择题的公设就是一定有答案，所以这题还是要用删 12/02 12:20
18F：→ Vulpix : 去法，否则除法除下去很花时间。 12/02 12:20
19F：→ Vulpix : Q2换到Z[x]应该会比较顺吧？反正有Gauss lemma在。 12/02 12:22
20F：→ Sfly : Q3 考古发现的 12/02 18:57
21F：推 Vulpix : 比较快一点的话就是用同余降deg。 12/02 20:25