补充一些想法。 0. 先来一题暖身题吧 Q: 设a,b为整数，集合S={a,b}，则|S|为何？ (S的个数) (答案见文末) 1. 在现代的传统(*好矛盾的修饰)数学，大部分的东西都在ZF集合论底下建构。 譬如用空集合{}和後继定义自然数， 以tuple除掉适当的equiv. relation定义整数、有理数等等。 这时候因为有axiom of extention，基本上"=" 就是那个 "="， 所以不用(也不能)再另外定义"="。 把所有的一致性问题都推给ZF集合论，然後相信他这样。 2. 不过ZF集合论和高中(?)学的那种集合又不大一样。 譬如假如要讨论 A={西瓜、莲雾} 这种集合，那我们也想问「西瓜=莲雾」吗？ 依照axiom of extention变成要问是不是 「x 属於 西瓜 <=> x 属於 莲雾」 可是我们不知道到底甚麽东西属於西瓜XD (至少没有一个公认的定义) 但若想成任何东西都不属於西瓜、莲雾，那其实西瓜=莲雾={}，这好像也不是 高中学的集合论想要的。 换言之，集合论中能完整写开的东西，其实都是一堆{、,和}组成的字串XD 3. 但事实上人在想数学并不是这样想的 譬如在受到集合论的荼毒之前，算1+1=2的时候都是用心算XD不是先翻译成集合论操作。 一般而言，依循一套符号的运算法则来进行演算，"="也是其中的规则之一。 对於自然数可能太简单，我们来看一个「分数的加减」 1/2 + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1 这个过程当中，就至少用到了 (i) 分数是一种写成a/b的东西 (ii) 对於c=/=0，ac/bc = a/b (iii) 两分数在分母相同时，a/b + c/b 可以化成单项 (a+c)/b 当然，这是小学程度，在抽象代数中讨论quotient field的时候，不会搞成这样， 但这其实也是一种运算规则 在这里，没有集合论翻译，没有等价类，就是一些自订的符号、规则(包含"=") 那这时问题来了，你怎麽知道这个运算规则「没有问题」 很多初学者很喜欢把(iii)改成(iii')：a/b + c/d 可以化成 (a+c)/(b+d) 然後你就发现 1/2 + 1/2 = 2/4 = 1/2，各种光怪陆离的事情，怎麽算都对XD 就是因为没有一致性。 4. 早期数学确实是这样搞的，像是原Po的多项式也是一个例子。 反正多项式就是a0+a1x+a2x^2+...+anx^n这种东西，然後有一些运算规则。 但是每一次定义一些符号规则，上述一致性的问题就越来越大。 最後ZF集合论的发明，数学家发现可以把几乎所有的问题都丢进去，很方便。 问题解决了吗？当然没有！因为ZF集合论的一致性一样证不出来。 但是却可以很狡猾的把无穷无尽个一致性问题用一个更大的问题通通包起来 然後就相信他，接受他(俨然变成宗教了，问题全部推给神，然後相信神Orz) 5. 要是觉得看这种符号规则觉得不舒服，而想要用集合论建构来操作，似乎只要有耐心也不是 不可以。然而实际上还真的会遇到困难。 我发现没人举这个例子，但是很重要，那就是 R (实数体) 实数体可以用很多种方法建构 你用你的Dedekind cut，他用他的Cauchy sequence，彼此都定义了等价的完备有序体。 在集合论里面，你的实数1和他的实数1不相等(dedekind cut怎麽可能和sequence相等) 更要命的是，不管是Dedekind cut还是Cauchy sequence[的等价类]，都很难全部写开。 所以实务上都是用比较接近符号规则的方法操作。 那些规则可能包含类似 (i) 对所有有理数 q ，相同的符号也表示一个实数 (ii) 对於有上界的非空实数集A，有一个实数= sup A (譬如定积分的定义) (iii) 对於Cauchy sequence {an}，有一个实数= lim an (iv) a=b <=> a不大於b且a不小於b (v) a=b <=> 若对所有e>0 |a-b|<e 其实就在分析中常用的证明手法，你要证明两个实数a，b相等的时候不会把a和b想成 某种等价类集合然後证明互相包含吧... (完整的"="定义 is left as an exercise XD) 6. 到这里可以说明一下，甚麽是现代的传统数学XD 之所以现代，是因为早期没有集合论 之所以是传统，是因为现在还有针对ZF集合论以外的数学基础相关研究 (前面很多板友提到了) 7.暖身题的解答 1, if a=b 2, otherwise -- 中 最 连 紧 闭 开 值 大 通 致 集 集 在 最 到 映 返 返 中 小 连 紧 闭 开 间 值 通 致 集 集 。 ， 。 ， ； ， --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 219.85.41.140 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1637674379.A.A29.html ※ 编辑: LimSinE (219.85.41.140 台湾), 11/23/2021 21:37:12