不好意思原本想用推文的, 但是文字上很难描述我在推哪一段QQ ※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之铭言： : 标题: Re: [其他] 等号需要定义 & 集合需要等号 吗? : 时间: Mon Nov 22 14:09:38 2021 : : 解决「矛盾」其实没有必要这麽深入。 : : 我用 direct sum 讲是因为你已经提到数列了，这是一样的东西啦。 : : 除了 wiki 以外，你可以参照 Hungerford 的 Algebra p.149。 : : 多项式就是 (a,b,c,0,0,0,...) 这种数列， : : 重点是顶多只有有限项非零（项的概念直接从数列拿来用）。 : : 而有限项非零就是 Abelian group 的 direct sum（index set 是 {0}∪Ｎ）， : : 所以加法也直接从环的加法群结构生出来（不可视为环结构的 direct sum）。 : : 让多项式环成为环，我们还需要乘法，这个用 convolution 定义。 : : 最後只要检查一点性质就可以确认多项式集合是否真的是个环。 : : : 然後开始处理「表示法」，毕竟我们更习惯用 x 等不定元来表示多项式。 : : 首先最重要的就是 x。 : : 这个简单，给 (0,1,0,0,0,...) 一个外号「x」就搞定了。 : : 顺便注意一下 (0,1,0,0,0,...)^2 = (0,0,1,0,0,...) 是算得出来的， : : 所以 (0,0,1,0,0,...) 自动成为 x^2。 : : 再来是常数项： : : 把 R embed 到 R[x] 里面，r 对应到 (r,0,0,0,...)。 : : 接下来「在不致混淆的情况下」，将 (r,0,0,0,...) 也称呼为 r。 : : 这样一来，(a,b,c,0,0,0,...) 就可以被写成 a+bx+cx^2， : : 同时也可以是 a+cx^2+bx+0x^100 等「长相」， : : 虽然这个长相不是唯一的，但他们都只是 (a,b,c,0,0,0,...) 的外号。 以上了解! : : 这样看下来，多项式是函数吗？ : : 那个数列看起来跟 R→R 的函数是八竿子打不着的吧，所以多项式不是函数。 : : 然後我们就给他第九竿(X) 我原本先看推文还去google第九竿是什麽梗...原来在这XDDDDDDDDDDD : : 考虑 R[x] 里面的某个元素 s，定义一个函数 f_s:R→R，f_s(r) = g_r(s)， : : 其中 g_r 是 evaluation homomorphism at r， : : 例如 g_r( (a,b,c,0,0,0,...) ) = a+br+cr^2，或者 g_r(a+bx+cx^2) = a+br+cr^2。 : : s 是多项式，而 f_s 是可以用多项式 s 表示的函数，所以 f_s 叫做多项式函数。 : 好奇一下我不能直接定义 f_s(r) := a+br+cr^2, where s = (a,b,c,0,0,0,...)吗@@? 因为s的数列长相是唯一的, 不会有不well-defined的问题 : : 关於为什麽一定要区分多项式和多项式函数： : : 我在原文推文有提到 Z/2Z 上 x^n（n>0）全都是同一个多项式函数， : : 但从数列定义来看他们彼此明显是不同的多项式。 : : 甚至讲得极端一点，考虑 affine algebraic set {0,1} in Ｃ， : : f(x) = sin(πx/2) 也是他上面的「多项式函数」，因为可以用多项式 x 表示。 V大提到f(x) = sin(πx/2)这个例子, 就让我想到 我原文就是想说如果我没有搞清楚《多项式不是函数那是什麽》 我就没办法回答《f(x) := 0*sin(x)有没有在R[x]内》 顺带一提, "0*sin(x)没有在R[x]内"这句话是对的吗? 原本我认为答案是: 没有定义, 因为R[x](照V大的构造)的等号是数列相等 而等号只定义在可以比较的对象, 这里就是指数列间才能说是否相等 但是後来这个解释有点不合理, 因为我原文的推文讨论中有关: (1) "有没有在集合内" 牵扯到"属於" (2) "属於" 并非从"等号"去定义的 因此我不能用"不能相比等号" 来说 "0*sin(x)不能讨论是否属於R[x]" 结果这块问题还是回到原点... 举个简单的例子, 不能对Z与Z_2取交集, 无定义, 无法讨论x€Z => x€Z_2 or not 但是如果全部化约成ZF集合公设就没这问题了, 所有建构的都是集合 自然可以推导出Z∩Z_2 = φ 最後的答案还是dependent on系统选择@@? : : : Herstein 定义的多项式相等，其实只要把「definition」拿掉应该就不会让你混乱。 : : 他实际上只是把我们怎麽检查两个数列是否一样换句话说而已。 : : 你可以怀疑这个定义是否与「多项式相同」等价，但这只要证明就好。 : : 总之他并不是试图去「另外定义」一个等号， : : 就这点来说，确实不适合用定义称呼。 我反而觉得留着是有必要的耶: (1) 如果以V大建构的(a,b,c,0,0,0,...)来说, 等於是宣称这里的等号采用的是数列等号 (2) 如果是以a+bx+cx^2这种形式来说, 等於是宣称这里的等号定义为系数相等 所以我没有认为他是另外定义, 我认为他是照下面的定义流程, 我才在原文 问说下面这个流程是否人人都可做(不考虑化约成ZF, 单纯照直觉的後设语言) (i) 定义元素(某个form) (ii) 定义集合(收集全部或是某些form) (iii) 定义等号: 但是是否要符合等号定义, 等号的定义又是什麽 如果采取莱布尼兹定义又如何检验符合定义 : : : 至於所谓「很大的字串集合和很大的等价关系」则是从表示法开始定义多项式， : : 这是许多国中生的学习历程。 : : 现在课纲所下的定义：由数和文字符号进行加法和乘法运算所构成的算式，称为多项式。 : : 既然他讲到「加法」和「乘法」，以国中生所学， : : 会认为结合律、交换律、分配律等交换环的结构都是自然存在的， : : 另外还有「加 -a」就是「减 a」和「减 -a」就是「加 a」。 : : 上面的结合律等计算规则，就形成字串的等价关系。 : : 但这个等价关系有点大，光是 1-x 的等价类里面就塞了很多东西， 对耶... 1-x = 1+(-x) = (-x)+1 = 1+(-1)*x = (-1)*x+1... : : 「项数」不好定义、「deg」不好定义、「系数」不好定义， : : 很多我们谈到多项式的时候爱用的性质、名词都不好定义。 : : 虽说不是不能定义，但通常都必须在等价类里面挑出「最简」的字串再来谈。 : : : 更何况等价类太大的时候还有可能出意料之外的岔子， : : 虽然多项式应该是遇不到的，但要保证的话好像又要一条定理。 : : Tensor product 是很有用而且有趣的运算， : : 常见的定义就是要把 direct product 拿去当「基底」做成一个超大的 module， : : 然後再除掉一个超大的等价关系。 : : 在看过 R[x] 和 R[y] 运算成 R[x,y] 之後， : : 怎麽会想到 Z/2Z 和 Z/3Z 居然算出 0 来呢？ : : 要是我们除掉的等价关系太大，一个不好可能会得到很小的 quotient set， : : 这点须要验证，但因为等价关系太大所以下手验证的痛苦指数太高。 : : 所以最後定义多项式的时候都倾向绕过这个说法。 意思就是等价类定太小的话, 很多"一样"的东西就会不一样, 像是1+x=x+1 但是定太大的话, 很多一样的东西却对某些定义不well-defined? 即长相不同导致不同的值 : : : 至於数学基础方面我就不是很熟了， : : 我大概就是集合论柏拉图主义者吧！ 我可能连化约都懒得化约了, 懒惰的集合论主义者XDDDD 只是突然那麽一刹那觉得不舒服的时候, 就出现一卡车的问题QQ --

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