※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言： : (E1) 在Herstein的代数中定义多项式环时, 他有先定义两个多项式相等为系数相等 : 这代表Q1跟Q2的答案是肯定的罗? 也就是说, 顺序如下: : (1) 先写出一个集合R[x]叫做多项式集合, 收集了所有形如a_n*x^n+...+a_0的物件 : (2) R[x]的存在性目前不涉及等号, 只是如果我们如果要讨论 : 《属於, 包含, 子集, 元素个数...》这些名词的话, 就要先定义等号, : 因此这里采取"系数相等"为R[x]的等号定义 : (3) 去证明这个等号定义符合Q2的(1)~(4) : : 如果严格说来是这样没错, 那怎麽证明Q2的(4)? : 如果不是这样, 那又是如何呢? : : (E2) Z = {所有整数}, 我们可以由皮亚诺公设与ZF公设去说他已经有等号了 : 像是 1 != 2, 1 = 1... : : 接着考虑equivalence relation的话, x,y€Z, x~y iff x-y is even : 就可以定义 Z_2 := {[x]│x€Z}, where [x] := {y€Z│x~y} : 然後藉由集合的相等定义来当作Z_2的等号, 因此#Z_2 = 2 : : 所以目前的逻辑跟(E1)一致: (1) 定义出Z_2 : (2) 定义等号为集合相等 : 且默认集合的相等是符合Q2的(1)~(4)的 : : 但是今天我能不能这样做: (1) 在Z上定义新的等号叫作"%", 定义为: : x,y€Z, x%y iff x-y is even : (2) 证明%符合Q2的(1)~(4) : 然後说Z在%的等号定义下#Z=2 : : 可能有人会说《%根本就是~》, 但是我会举这个例子是要跟(E1)对比: : : 【如果R[x]的等号是需要定义的, 那我为什麽不能在Z上重新定义等号】 : --------------------------------------------------------------------------- : : 总之, 这些牵扯到哲学, 逻辑公设, 公设...的东西我本来就不想钻 : 但是目前我解决不了(E1)与(E2)的矛盾... : 还是要解决矛盾就真的要碰这些... : 解决「矛盾」其实没有必要这麽深入。 我用 direct sum 讲是因为你已经提到数列了，这是一样的东西啦。 除了 wiki 以外，你可以参照 Hungerford 的 Algebra p.149。 多项式就是 (a,b,c,0,0,0,...) 这种数列， 重点是顶多只有有限项非零（项的概念直接从数列拿来用）。 而有限项非零就是 Abelian group 的 direct sum（index set 是 {0}∪Ｎ）， 所以加法也直接从环的加法群结构生出来（不可视为环结构的 direct sum）。 让多项式环成为环，我们还需要乘法，这个用 convolution 定义。 最後只要检查一点性质就可以确认多项式集合是否真的是个环。 然後开始处理「表示法」，毕竟我们更习惯用 x 等不定元来表示多项式。 首先最重要的就是 x。 这个简单，给 (0,1,0,0,0,...) 一个外号「x」就搞定了。 顺便注意一下 (0,1,0,0,0,...)^2 = (0,0,1,0,0,...) 是算得出来的， 所以 (0,0,1,0,0,...) 自动成为 x^2。 再来是常数项： 把 R embed 到 R[x] 里面，r 对应到 (r,0,0,0,...)。 接下来「在不致混淆的情况下」，将 (r,0,0,0,...) 也称呼为 r。 这样一来，(a,b,c,0,0,0,...) 就可以被写成 a+bx+cx^2， 同时也可以是 a+cx^2+bx+0x^100 等「长相」， 虽然这个长相不是唯一的，但他们都只是 (a,b,c,0,0,0,...) 的外号。 这样看下来，多项式是函数吗？ 那个数列看起来跟 R→R 的函数是八竿子打不着的吧，所以多项式不是函数。 然後我们就给他第九竿(X) 考虑 R[x] 里面的某个元素 s，定义一个函数 f_s:R→R，f_s(r) = g_r(s)， 其中 g_r 是 evaluation homomorphism at r， 例如 g_r( (a,b,c,0,0,0,...) ) = a+br+cr^2，或者 g_r(a+bx+cx^2) = a+br+cr^2。 s 是多项式，而 f_s 是可以用多项式 s 表示的函数，所以 f_s 叫做多项式函数。 关於为什麽一定要区分多项式和多项式函数： 我在原文推文有提到 Z/2Z 上 x^n（n>0）全都是同一个多项式函数， 但从数列定义来看他们彼此明显是不同的多项式。 甚至讲得极端一点，考虑 affine algebraic set {0,1} in Ｃ， f(x) = sin(πx/2) 也是他上面的「多项式函数」，因为可以用多项式 x 表示。 Herstein 定义的多项式相等，其实只要把「definition」拿掉应该就不会让你混乱。 他实际上只是把我们怎麽检查两个数列是否一样换句话说而已。 你可以怀疑这个定义是否与「多项式相同」等价，但这只要证明就好。 总之他并不是试图去「另外定义」一个等号， 就这点来说，确实不适合用定义称呼。 至於所谓「很大的字串集合和很大的等价关系」则是从表示法开始定义多项式， 这是许多国中生的学习历程。 现在课纲所下的定义：由数和文字符号进行加法和乘法运算所构成的算式，称为多项式。 既然他讲到「加法」和「乘法」，以国中生所学， 会认为结合律、交换律、分配律等交换环的结构都是自然存在的， 另外还有「加 -a」就是「减 a」和「减 -a」就是「加 a」。 上面的结合律等计算规则，就形成字串的等价关系。 但这个等价关系有点大，光是 1-x 的等价类里面就塞了很多东西， 「项数」不好定义、「deg」不好定义、「系数」不好定义， 很多我们谈到多项式的时候爱用的性质、名词都不好定义。 虽说不是不能定义，但通常都必须在等价类里面挑出「最简」的字串再来谈。 更何况等价类太大的时候还有可能出意料之外的岔子， 虽然多项式应该是遇不到的，但要保证的话好像又要一条定理。 Tensor product 是很有用而且有趣的运算， 常见的定义就是要把 direct product 拿去当「基底」做成一个超大的 module， 然後再除掉一个超大的等价关系。 在看过 R[x] 和 R[y] 运算成 R[x,y] 之後， 怎麽会想到 Z/2Z 和 Z/3Z 居然算出 0 来呢？ 要是我们除掉的等价关系太大，一个不好可能会得到很小的 quotient set， 这点须要验证，但因为等价关系太大所以下手验证的痛苦指数太高。 所以最後定义多项式的时候都倾向绕过这个说法。 至於数学基础方面我就不是很熟了， 我大概就是集合论柏拉图主义者吧！ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 163.13.112.58 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1637561381.A.7CB.html >///< 多项式被看成多项式函数，好像是一个 forgetful funtor？ 我猜他原本不知道的名词只有 direct sum。 successor 可以直接确定存在？（大吃一斤） 好像比较知道你们在说什麽了，细节就要看书了吧。 ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 11/22/2021 18:33:10