作者forget0309 (龙雪饮)
看板Math
标题Re: [中学] 高中数学竞赛试题(两题)
时间Sun Nov 14 00:07:26 2021
1.根据中国剩余定理，原题目等於考虑（a,b)这样的数对有几种
其中a是mod 2的余数 b是mod 101的余数
从f(x)=x(x-37)+5，可以知道mod 2的余数一定是1
所以题目可以再简化成mod 101的余数有几种(好处是质数比较好讨论)
f(x)=f(y) (mod 101) iff
(x-y)(x+y+37)=0 (mod 101) iff
(x-y)=0 or (x+y-37)=0 (mod 101)
第二个iff有一边有用到101是质数的性质
从这边可以知道如果x>101，则
f(x)=f(x-101) (mod 101)
再来讨论x<=101的部分
x=1和x=36同余
……
x=18和x=19同余
接着
x=37和x=101同余
…
x=68和x=70同余
x=69自己一组
所以总共51种
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 39.11.194.105 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1636819648.A.CF4.html
1F：→ cmrafsts : mod 101的不用算，他就是二次剩余的个数。 11/14 02:31
2F：推 LPH66 : 把一次项 -37 补成 -37+101=64 就能配方成 11/14 09:20
3F：→ LPH66 : (x+32)^2+c (c 是一个常数不过不用算) 11/14 09:20
4F：→ LPH66 : (x+32)^2 的余数可能性就是一楼提的二次剩余 11/14 09:21
5F：→ LPH66 : 加一个常数 c 不会把不一样的变一样, 所以个数不变 11/14 09:21
6F：→ forget0309 : 又学到一招了，感谢楼上两位大大 11/14 10:55
7F：推 flyIssac : 也有二次函数的解法走到对称的概念去找有解的。但须 11/14 23:18
8F：→ flyIssac : 注意f(x)出来是负的话不予计算。余数无负。是可以筛 11/14 23:18
9F：→ flyIssac : 出来的。 11/14 23:18