作者LimSinE (r=e^theta)
看板Math
标题Re: [分析] Fourier 转换一题
时间Thu Oct 28 23:47:31 2021
※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之铭言：
: 已知 Fourier 转换 F 将
: 1. 微分算子转换为 multiplicative 算子；
: 2. 将卷积算子转换成逐点相乘的算子。
: 请问 1 是否导致 2？
: 亦即我考虑一个线性算子 L 满足 1，尽可能不假设其他条件下，是否会满足 2？
: 佳佳
这个问题其实满有意思的，如网友提出1.不能推出2.(至少可差函数倍数)，
那麽1.可以推出多少呢？
1a. F{f'} = it F{f} (我们先把1.写清楚，F{}表题目之转换，转换後变数为t)
1b. 设f_a(x) = f(a+x)，则 F{f_a} = exp(iat) F{f}
我们证明在适当条件下1a. => 1b.
显然对任意a， (f_(a+h) - f_a) / h → (f_a)' as h→0 pointwisely
我们假设F可以pass limit (譬如f是Schwartz function，F在Schwartz space上线性连续)
则有 F{f_(a+h)} - F{f_a} / h → F{f_a'} (也有pointwisely)
固定t，记 H(a) = F{f_a}(t) 则应用微分定义与1a有 H'(a) = it H(a)
解a之ODE，得到H(a) = exp(iat) H(0)，即是1b.
有1b.有甚麽好处呢？
因为 f_a(x) = f(x) * delta(x+a) (*为convolution)
所以就是证明
F{g*f} = F0{g} F{f} ，其中F0是「真」Fourier变换，在g是delta(x+a)是对的。
从这里出发，就可以推出上式对任意g也是对的，
因此原题2.只要其中一个F改为F0就对了。
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r=e^theta
即使有改变，我始终如一。
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1F：→ kuromu : 平移算子可写成微分算子的指数？ 10/29 21:25
2F：推 Vulpix : 回楼上，虽然可以，但是先建立在entire function（ 10/29 22:25
3F：→ Vulpix : 然後限制在实轴上）上。更一般的函数，那个指数算 10/29 22:25
4F：→ Vulpix : 子应该当成形式上的写法。 10/29 22:25
5F：推 tiwsjia : 感谢，非常美丽的解答！ 11/02 17:40