作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题Re: [线代] 对角矩阵的转换
时间Tue Oct 26 00:27:57 2021
※ 引述《Lanjaja ()》之铭言：
: 标题: [线代] 对角矩阵的转换
: 时间: Mon Oct 25 22:52:16 2021
:
: 请教一下各位先进，
: 如果有一个方阵A可以对角化为矩阵D = (P^(-1))DP，
: 有没有可能存在其他的某Q，一样可以对角化D' = (Q^(-1))AQ，
: 但是得到的是D'却不等於D？
不用限制P,Q 就得到了 D'跟D只会差别在顺序
:
: 这里说的不等於是在排除以下2种状况及其组合後仍然不相等。
: 1.Q只是P的行向量各自乘以某个常数
: 2.Q只是P的行向量做顺序的改变
:
: 如果在排除以上情况後具有一定程度的唯一性，
: 想请问各位先进应该要如何证明？
: 感谢先进的指导～
<Theorem> Let A, P, Q, D, T€M_nxn(F), F is a field
s.t. (1) P, Q are invertible
(2) D, T are diagonal, say D = diag{d_i} and T = diag{t_i}
(3) D = (P^(-1))AP and T = (Q^(-1))AQ
Then there exists a permutation σ:{1~n}→{1~n} s.t. d_i = t_σ(i)
pf: By (3), we have A = PDP^-1 = QTQ^-1
Hence D(P^-1Q) = (P^-1Q)T, where W:=P^-1Q is also invertible
Hence D = WTW^-1, which implies D and T have the same char. poly.
Now see char_D(x) = Π_{i=1~n} (-1)^n (x-d_i)
char_T(x) = Π_{i=1~n} (-1)^n (x-t_i)
It's easy to check d_i = t_σ(i) for some permutation σ
(ex: For (x-d_1)(x-d_2) = (x-t_1)(x-t_2) for all x€F
Let x = d_1, then one of t_i is d_1, say t_1 = d_1
Hence (x-d_1)(x-d_2) = (x-
d_1)(x-t_2) for all x€F
Hence (x-d_2) = (x-t_2) for all x€F-{d_1}
and so on...)
也就是说, 不论重根或是finite field, 都可以得出这个结论
而如果以固有空间来看, 第一组的AP = PD已经决定了F^n空间的分割方式与
固有值的所有可能性, 也就是说, 如果今天t是一个固有值, 即Av=tv for some v!=0
那把v写成Σa_i*p_i, 我们有AΣa_i*p_i = tΣa_i*p_i
进而得到 Σa_i*d_i*p_i = tΣa_i*p_i
而由线性独立得到 a_i*d_i = t*a_i for all i
而因为v!=0所以至少有个i使得a_i!=0, 因此我们有t = d_i for some i
也就是说, 你
找不到其他的固有值了
也因此你不管是d_i还是t_i, 单纯只是顺序的不同, 展开的固有空间一定一样
因为固有空间只跟固有值有关, 跟顺序无关
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※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 10/26/2021 00:30:14
1F：推 Lanjaja : 谢谢z大，我也曾经想过，算特徵多项式得到的特徵值10/26 00:52
2F：→ Lanjaja : 是固定的。但是後来我拿一个对称矩阵当例子，调一下 10/26 00:52
3F：→ Lanjaja : 特徵项量的长度，对角化出来的矩阵对角元素却不固定10/26 00:53
4F：推 Lanjaja : 谢谢z大，我可能有些地方误会了，我再重新想想10/26 05:50
是不是没有要问D'跟D的关系而是其他关系XD??
※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 10/26/2021 08:17:45
5F：→ cmrafsts : 我觉得可能是在做quadratic form 10/26 08:37
6F：推 Vulpix : 应该是因为你的P^-1都用P^T在算，可是特徵向量长度 10/26 13:17
7F：→ Vulpix : 变了=>P不再orthogonal(各行之间不再保持ortho- 10/26 13:18
8F：→ Vulpix : "normal"）。如果还是正常计算P^-1，特徵值是不会 10/26 13:19
9F：→ Vulpix : 变的。 10/26 13:19
10F：推 Lanjaja : 谢谢V大，真的是这个问题，难怪要限制长度为1才方便 10/26 22:47
11F：→ Lanjaja : 感谢各位大大的指点 10/26 22:47