※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之铭言： : 标题: Re: [分析] Fourier 转换一题 : 时间: Sun Oct 24 22:10:00 2021 : : ※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之铭言： : : 已知 Fourier 转换 F 将 : : 1. 微分算子转换为 multiplicative 算子； : : 2. 将卷积算子转换成逐点相乘的算子。 : : 请问 1 是否导致 2？ : : 亦即我考虑一个线性算子 L 满足 1，尽可能不假设其他条件下，是否会满足 2？ : : 佳佳 先讲结论，我不认为应该期望这件事。根据V大所写 : 1: LD = ΛL for some diagonal operator Λ : : 所以 1 这个条件可以直接看成是在对 D 做对角化，L 是 "diagonalizer"。 ... : 如果不这麽做的话，至少 1 的形式化已经说明了这是 D 的对角化问题， : : 而 D 的 eigenfunction 就是各个指数函数。 我认为这是在说要把整个空间用D的Eigenspace当基底展开。在Fourier transform时， Λ=2πix。这似乎是在说我们希望L(e^(2πicx))=δ(x-c)，并且期望当 f = ∫g(c) e^(2πicx)dc, L(f)(c) = g(c)。 如果我们相信这是对的，应该要去证明L就是Fourier transform。 但是我们并不需要L(e^(2πicx))=δ(c)来满足对角化的条件。可以随便找个函数h(c)， L:=h(c) times Fourier transfrom 满足L(e^(2πicx))=h(c)δ(c)。他满足条件1，但没 有条件2。他会满足 hL(f﹡g)=L(f)L(g)。 更一般地，如果L满足条件1，hL也满足条件1，但是基本上不会满足条件2。 这件事就是在对角化D的时候选不同的基底。 因此我认为该问的是，在怎样的条件下会存在一个h满足hL(f﹡g)=L(f)L(g)，这个等式可 能是函数或是distribution。 : L 可能不一定要是 Fourier transform，但应该还是 ∫exp(zx)f(x)dx 这种类型， : : 也就是 chy 提到的 exponential kernel。 : : Fourier transform 的 z 取在虚轴上，应该还有其他线可以用，可以走弯的吗？ : : Laplace transform 的 z 是取负实数，不过 z=0 的边界问题很讨厌:p Laplace transform不满足条件1，inverse Laplace transform才满足条件1。 至於能不能对Fourier transform简单地取另一个积分路径我感到怀疑。 -- 第01话 似乎在课堂上听过的样子 第02话 那真是太令人绝望了 第03话 已经没什麽好期望了 第04话 被当、21都是存在的 第05话 怎麽可能会all pass 第06话 这考卷绝对有问题啊 第07话 你能面对真正的分数吗 第08话 我，真是个笨蛋 第09话 这样成绩，教授绝不会让我过的 第10话 再也不依靠考古题 第11话 最後留下的补考 第12话 我最爱的学分 --

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