※ 引述《adamchi (adamchi)》之铭言： : 2.有900个实数,每个数的绝对值不超过2/3且它们的立方和是0, : 求它们和的最大值 : 答:200 这问题我还挺感兴趣给中学生是怎麽做的。因为我用的手段不是中学生的范畴了 假设那900个实数为 X1, X2 ...... , X900 用 X = [X1, X2 ...... , X900] 来表示这900个数 900 定义 f(X) = ΣXi i=1 那我们想要做的问题就是 maximum f(X) subject to ΣXi^3 = 0 , Xi^2 - 4/9 <= 0 首先，X的 domain 是 closed and bounded， 所以X绝对存在极大值 接着，对於这个问题列出 KKT condition，可以得到，达成极大值的 X 必须满足 Link:https://bit.ly/3n1tuya 存在 {λi | 1<=i<=900} 和 μ>= 0 使得 -1 + 2λiXi + 3μXi^2 = 0 for all i ....... (1) λi(Xi^2 - 4/9) = 0 for all i ....... (2) ΣXi^3 = 0 ........(3) 这些等式同时成立 (i) 如果 μ= 0 从 (1) 可得知 2λiXi = 1 → λi ≠ 0 而 λi ≠ 0 则可以从 (2) 得出 Xi 们要不是 2/3 就是 -2/3 那麽从 (3) 我们可以知道这情况下各自是 450 个，f(X) = 0 看得出来这并不是太有趣的结果 (ii) 假设 μ> 0 (这边才会得到比较有趣的结果，但也比较长) 这次我们从 (2) 切入。对於任意 i in {1,2,3,...,900}， λi ≠ 0 → Xi = 2/3 or -2/3 那 λi = 0 呢？ 这个就可以从 (1) 得到 Xi = 1/√(3μ) or -1/√(3μ) 这边开始比较有趣罗 https://i.imgur.com/ot2Iyi8.png 如果我们令 α = 1/√(3μ), 那麽在 μ >0 的情况下， 满足 KKT condition 的 Xi们的数值只能是 α,-α,2/3,-2/3 这个 α 本身要大於零，而且我们还可以进一步限制 α < 2/3。 为什麽呢？ 因为如果 α = 2/3 ，就跟 (a) 的结果一样了 假设这些 Xi中，有 a 个是 α b 个是 -α c 个是 2/3 d 个是 -2/3 这时候 f(X) = α(a-b) + 2/3*(c-d) ......(4) ΣXi^3 = α^3(a-b) +8/27*(c-d) = 0 ......(5) a+b+c+d = 900 ......(6) a,b,c,d are non-negative intergers (5)可以得到 2/3(c-d) = -α^3(a-b)*9/4 把这个结果带入 (4) 可以得到 f(X) = (a-b)α(1-9/4α*2) .....(7) 到目前为止没用到 (6) 的限制，这样能弄出东西就见鬼了。 从(6)可以得到: 900 = a+b+c+d = (a-b) + 2b + (d-c) + 2c = (a-b) + 27/8*α^3*(a-b) + 2b+2c by (5) → (a-b)(1+27/8*α^3) = 900-2b-2c → (a-b) = 900-2b-2c / (1+27/8*α^3) ......(8) 将(8)带入(7)可得到 f(X) = (900-2b-2c)*α(1-9/4α*2)/(1+27/8*α^3) ...... (9) 这里呢，我们也不用考虑 900-2b-2c <= 0 的情况， 因为这还不如(i)看到的 f(X) 的情况 让我们把(9)里面 α 的部分拿出来看 α(1-9/4α*2)/(1+27/8*α^3) = α(1-3/2α)(1+3/2α)/[(1+3/2α)(1-3/2α+9/4α^2)] = α(1-3/2α)/(1-3/2α+9/4α^2) = -2/3 + 1/( 27/4*(α-1/3)^2 + 9/8 ) 上面这个α的部分，在 α = 1/3 的时候会有最大值 2/9 也就是说 f(X) = (900-2b-2c)*α(1-9/4α*2)/(1+27/8*α^3) <= (900-2b-2c)*2/9 <= 900 * 2/9 (毕竟 b,c 都要 >=0) = 200 我这样在(ii)写了一大串，到底写了什麽？综合起来就是在说， 在满足 KKT condition (1)(2)(3) 且 μ> 0 的情况下， Xi们只能是 1/√(3μ),-1/√(3μ),2/3,-2/3 其中一种数值 而且 f(X) 不会超过 200 那f(X)到底有没有可能在这种情况下达到 200？ 有，就是 800 个 1/√(3μ) = 1/3 和 100 个 -2/3 所以这个问题的极大值就是 200 -- 角卷绵芽首次个人Live： Watame Night Fever!! in Zepp Tokyo https://pbs.twimg.com/media/E9PIgJ7VkAUExEa.jpg 入场时间：台湾时间 2021/10/12 (星期二) 下午 4:30 官网购票连结：https://watame1stlive.hololive.tv/tickets/ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 98.45.135.233 (美国) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1634515284.A.599.html 以他的做法，是要凑出这个没错 那个做法问题在於他多用了一个 Xi必须要是 -2/3 和 2p/3 的条件， 但并没有证明考虑这样的Xi就足够 ※ 编辑: arrenwu (98.45.135.233 美国), 10/18/2021 18:21:55