想请教一下在Lebesgue积分: ∞ ∞ ∫ f(x)dx = lim (1/p)*Σ f(n/p) --(*) -∞ p→∞ n=-∞ 这个式子要成立的话有什麽已知的充分条件呢? 我自己是有证明一个版本: ----------------------------------------------------------------- <Theorem> Let f€L^1(R) and |f|<=M on R ---(C1) and f monotonic on [A,∞) and (-∞, -A] for some A>0 ---(C2) and f is continuous a.e. on R ---(C3) Then (1) Σ_{n=-∞~∞} f(n/p) exists and finte for all p > 0 (2) (*) holds ----------------------------------------------------------------- 证明的idea是: (a) 造出阶梯函数f_p(x) := Σ_{n=-∞~∞} f(n/p)*χ_[n/p, (n+1)/p) 造出控制函数g(x) := M , x€[-A,A] |f(x)| , else 然後就有 |f_p(x)| <= g(x) for all p P.S. 以上造法仅限於 f在[A,∞)向右递增 & f在(-∞, -A]向左递减 但是根据四种不同的单调排列组合都可以制造出相应的f_p (b) 因为f在R上a.e.连续, 所以我们有f_p(x)趋近於f(x) a.e. x€R 因为f€L^1(R)所以g€L^1(R) 根据以上两个, LDCT告诉我们下面第一个等号, 第二个等号则by trivial check ∞ ∞ ∞ ∫ f(x)dx = lim ∫ f_p(x)dx = lim (1/p)*Σ f(n/p) -∞ p→∞ -∞ p→∞ n=-∞ ============================================================== 总之, (C1)跟(C3)我觉得还OK, 问题就在於(C2)太严苛了 可是没有单调性我又造不出控制函数QQ 由於我是在推导傅立叶转换与离散时间傅立叶转换的关系时需要(*)式 讯号通常不会有单调性 因此才想问说有没有什麽其他宽松的条件 谢谢!! (10/13更新) 找到一个符合L^1&(C1)&(C3)的反例: f(x) = 1 ,for x€Q 0 ,else 则p只要是正整数的话, f(n/p)都是1, 所以级数发散for all p€N 所以(C3)要加强至" 不连续点的数量有限 "才有机会... (10/13更新2) 全连续, 甚至均匀连续都也有反例, 看来要控制震荡度 (10/14更新) w大的locally BV也不能...把等腰三角形修改成C^1的话就locally BV了 https://www.desmos.com/calculator/jxkztslgm2 这里我是用sine接起来的, 面积跟等腰三角形一样 所以目前的超强反例是: f€L^1, C^1, 非负, 趋近於0, 均匀连续, locally BV 而要C^∞我猜也可以, 用test function来接应该就好, 只是面积要再check一下 (10/15) 条件可放宽至以下 <Theorem> (原本) Let f€L^1(R) and |f|<=M on R ---(C1) and f monotonic on [A,∞) and (-∞, -A] for some A>0 ---(C2) and f is continuous a.e. on R ---(C3) Then (*)成立 <Theorem> (现在) Let f€L^1(R) and f€BV(R) and f is continuous everywhere and Σ_{n=-∞~∞}f(n/p) converges Then (*)成立 --

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(10/15 更新) V大你这个条件OK耶!! 只是要加入P大的条件"级数收敛", 整体叙述我放在文末 P大你这个是(1) f€L^1 & 级数收敛for all p (2) (*)相等 (3) 非BV (4) f连续且f趋近於0 吗? (10/15更新) 嗨P大, 级数收敛&V大的全域BV确实就得证了 接着就差好的条件去让级数收敛了 ============================================================ 帮PPguest贴文把原本的长推文换成写得比较完整一点的文字 1.想到一个证明 本来想证在f€L^1(R),(C1)(C3),非负的条件下，若我们有一个跟f有关的级数收敛， [kp] 则当k→∞时，(1/p) * Σ f(n/p) 对p均匀收敛。 n=-[kp] 其中k的来源是把整个R上的积分变成[-k,k]区间的积分再取极限， ∞ MCT k ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx -∞ k→∞ -k p则是来自於把黎曼积分换成黎曼和的极限。 目标是p和k的极限可以交换。 初步想觉得有希望，後来不小心想说把新增的条件改写积分的型式， 结果发现本质上似乎就是做出LDCT的控制函数。 （本来做的控制函数後来发现无法大於等於|f_p(x)|） ----------------------------------------------------------------- <Theorem> Let f€L^1(R) and |f|<=M on R ---(C1) and f is continuous a.e. on R ---(C3) and Σ_{n=-∞~∞}sup{|f(x)|, x€[n,n+1)} converges ---(C4) Then (*)成立 ----------------------------------------------------------------- 证明的想法： 大方向和原po最初的证明一样要用LDCT，这里只讲控制函数的部分。 (ⅰ)令 u(x) = Σ_{n=-∞~∞} u_n *χ_[n,n+1), u_n = sup{|f(x)|, x€[n,n+1)} 由(C4)知 u(x)€L^1(R)。 (ⅱ)（造控制函数） 令 g(x) = Σ_{n=-∞~∞} g_n *χ_[n,n+1), g_n = ︴u_n, if u_(n-1) <= u_n ︴u_(n-1), if u_(n-1) > u_n (ⅲ)（g(x)€L^1(R)） g(x) = u(x) + Σ_{n=-∞~∞} (g_n-u_n) *χ_[n,n+1) <= u(x) + Σ_{n=-∞~∞} u_(n-1) *χ_[n,n+1) < +∞ (ⅳ)（|f_p(x)| <= g(x) for p >= 1） 对每个 [n/p, (n+1)/p) 区间，n€Z, n/p 一定落在某个 [N,N+1) 区间中。 若 (n+1)/p <= N+1，则 所有 [n/p, (n+1)/p) 内的 x 都有 |f_p(x)| <= g(x)。 若 (n+1)/p > N+1，则 因为 p >= 1，所以 (n+1)/p <= N+2； 所有 [n/p, N+1) 内的 x 都有 |f_p(x)| <= g(x)； 所有 [N+1, (n+1)/p) 内的 x 都有 |f_p(x)| <= u_N <= g_(N+1) = g(x)。 ========================================================================== 2.关於原po提的4个问题， 我忘了说 [0, 0.5] 那边用直线连起来，函数值都是1，方便起见只考虑单边。 (1) f 是 L^1(R)，因为函数在 [1,∞) 被 1/x^2 给压住，[0,1] 内有界。 级数收敛for all p 也对，用 p^2/x^2 压住 + 级数的comparison test。 (2) (*)会成立。 在 [1,∞) 本来是说用 1/x^2 平移来压住 u(x)，於是 u(x)€L^1(R)。 现在发现直接看级数，用1/x^2 压住 (C4)就成立。再用前面证的定理即可。 (3) 非BV没错。 每个正整数点跟前一个整数点之间有 n 个振荡，振幅是 1/n^2， Σ_{n=1 to ∞} 2 * n * 1/n^2 <= V[f,[0,∞)] (4) f连续没错，x 往无限大时 f 趋近於 0 没错。 ========================================================================== 3.关於BV 直观上觉得有 f€L^1(R)、(C1)、(C3)、BV，应该就会有(*)，毕竟反例应该都挂了。 直观的想法是，若有BV,就不会有无限多的 x 让f(x)的值跑到会让级数发散的地方。 ----------------------------------------------------------------- <Theorem> Let f€L^1(R) and |f|<=M on R ---(C1) and f is continuous a.e. on R ---(C3) and f is BV function. Then Σ_{n=-∞~∞}sup{|f(x)|, x€[n,n+1)} converges ---(C4) ----------------------------------------------------------------- 证明的想法： 假设(C4)是错的，Σ_{n=-∞~∞}sup{|f(x)|, x€[n,n+1)} = +∞ 目标是total variation V[f,R] 要爆掉。 (ⅰ) 令 u(x) = Σ_{n=-∞~∞} u_n *χ_[n,n+1), u_n = sup{|f(x)|, x€[n,n+1)} l(x) = Σ_{n=-∞~∞} u_n *χ_[n,n+1), l_n = inf{|f(x)|, x€[n,n+1)} 则对每个 x 都有 l(x) <= |f(x)|，於是 l(x)€L^1(R) 由假设(C4)是错的，∫u(x)dx = +∞ (ⅱ) 因为 | |f(x_(i+1))|-|f(x_i)| | <= | f(x_(i+1))- f(x_i) |， 所以 V[|f|,R] <= V[f,R]。 (ⅲ) 因为 ∫u(x)-l(x)dx = +∞，所以Σ_{n=-∞~∞} u_n - l_n = +∞ 但 Σ_{n=-∞~∞} u_n - l_n <= V[|f|,R] <= V[f,R]，与 f 是BV 矛盾。 ========================================================================== 我证单边的模式, 双边类似, 只是f(0)这一项额外提出来给1/p压掉即可 https://www.desmos.com/calculator/3xyysgekfl 没关系啦XDD 有空你再寄站内给我我帮你贴上就好, 推长文不太好看 谢谢讨论罗~ 昨天为了解决" Σ_{n=-∞~∞}f(n/p) converges "这个条件(还是觉得下这个太刻意) 想到" f(x) = O(1/x^q), q>1 " 这个条件可以达成 进而发现这个条件就可以达成我要的控制函数了... 也就是说, 最後我认为最满意的版本是: ----------------------------------------------- <Theorem> Let f s.t. |f|<=M on R and |f|<=g for some monotone g€L^1 (因为g€L^1所以立得g递减到0) and f is continuous a.e. on R Then (1) f€L^1 (2) R.H.S of (*) exists for all p > 0 (3) (*) 成立 ------------------------------------------------ 反而total bounded variation那个版本的证明我发现: (a) 上界多估了好多东西 (b) 还是无法保证级数的收敛性 好像控制震荡性又不是那麽足够 而最初只想到要由f本身去做假设然後造出控制函数, 就没想到用" 有个单调的控制函数 "当假设即可 ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 10/17/2021 21:36:05 1. 我是正向f(n/p)都往左边造step function然後用g的单调性控制住 即 f(n/p)*χ_((n-1)/p,n/p] 2. 哪边怪怪的呢?? 没错耶, 概念来自於要让级数存在的话, 我之前有过假设 f(x) = O(1/x^q), q>1 这样就可以让级数存在, 之後我更发现这个 C/x^q 就可以当 f_p(x) 的控制函数 你觉得怪怪的地方我写清楚後应该如下: Let f s.t. |f|<=M on R and |f|<=g for some monotone g€L^1 Then |f_p(x)|<=g(x), where f_p(x) = Σ_{n=1~∞} f(n/p)*χ_((n-1)/p,n/p] 是需要呀, 只是我都写一边而已(正向)XD, 所以左右都要就是 |f|<=g , g€L^1(R), g is monotonic on [A,∞) and (-∞,-A] ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 10/18/2021 22:21:06